Esercizio sui differenziali

[bertuz1]

Sto provando a svolgere alcuni esercizi, ma per questo non riesco a trovare un metodo risolutivo. Pensavo di risolverlo per parti ma non mi sembra corretto.. avete idee? Grazie!

Esercizio 19
Sia C(t) la concentrazione di un farmaco nel sangue. Man mano che il corpo elimina il farmaco, C(t)
decresce ad una velocità proporzionale alla quantità di farmaco presente in quel momento. Quindi
C′(t) = −kC(t) dove k è una costante positiva, detta costante di eliminazione del farmaco.
(a) Detta C0 la concentrazione a t = 0, trovare la concentrazione all'istante t.
(b) Se il corpo elimina metà del farmaco in tre ore, Quanto tempo è necessario per eliminare il 90
per cento del farmaco?

[giuseppe87x]

"bertuz":Sto provando a svolgere alcuni esercizi, ma per questo non riesco a trovare un metodo risolutivo. Pensavo di risolverlo per parti ma non mi sembra corretto.. avete idee? Grazie!

Esercizio 19
Sia C(t) la concentrazione di un farmaco nel sangue. Man mano che il corpo elimina il farmaco, C(t)
decresce ad una velocità proporzionale alla quantità di farmaco presente in quel momento. Quindi
C′(t) = −kC(t) dove k è una costante positiva, detta costante di eliminazione del farmaco.
(a) Detta C0 la concentrazione a t = 0, trovare la concentrazione all’istante t.
(b) Se il corpo elimina metà del farmaco in tre ore, Quanto tempo è necessario per eliminare il 90
per cento del farmaco?

$dC=-kCdt$ a meno di infinitesimi di ordine superiore.
$dt=-1/k(dC)/(C)$
$t_(f)-t_(i)=-1/kint_(C_(0))^(C(t))(dC)/C$
$t_(f)-t_(i)=-1/klog((C(t))/(C_(0)))$ e ponendo $t_(i)=0$ e $t_(f)=t$
$e^(-kt)=(C(t))/C_(0)$
$C(t)=C_(0)e^(-kt)$
Il resto sono calcoli.

[bertuz1]

si, perfetto. Grazie infinite!