Esercizio sui complessi
Salve, volevo chiedere delucidazioni riguardo a questo esercizio sui numeri complessi:
Trovare delle condizioni su $a,b \in \mathbb{C}$ tali che il sistema di equazioni complesse
\begin{equation}
\begin{cases}
(az-b\overline{z})(bz-a\overline{z})=4\\z^ 2=\left | z \right |^2
\end{cases}
\end{equation}
abbia soluzione. Dato $a \in \mathbb{C}$ disegnare sul piano di Gauss l' insieme S(a)={$b \in \mathbb{C}$ : (a, b) è soluzione}.
Io avevo ragionato dicendo innanzitutto che dalla seconda equazione si poteva concludere che z era reale in quanto $ \abs{z}^2 = z \cdot \overline{z}$ e vedevo che allora $z=\overline{z}$. Il fatto è che dopo mi rimane un'equazione, la prima, che ha due incognite. Cioè ho un sistema di 2 equazione in 3 incognite e non capisco come procedere.
Trovare delle condizioni su $a,b \in \mathbb{C}$ tali che il sistema di equazioni complesse
\begin{equation}
\begin{cases}
(az-b\overline{z})(bz-a\overline{z})=4\\z^ 2=\left | z \right |^2
\end{cases}
\end{equation}
abbia soluzione. Dato $a \in \mathbb{C}$ disegnare sul piano di Gauss l' insieme S(a)={$b \in \mathbb{C}$ : (a, b) è soluzione}.
Io avevo ragionato dicendo innanzitutto che dalla seconda equazione si poteva concludere che z era reale in quanto $ \abs{z}^2 = z \cdot \overline{z}$ e vedevo che allora $z=\overline{z}$. Il fatto è che dopo mi rimane un'equazione, la prima, che ha due incognite. Cioè ho un sistema di 2 equazione in 3 incognite e non capisco come procedere.
Risposte
La definizione di $S(a)$ mi sembra sbagliata, non ha molto senso. L'incognita del sistema è $z$, non è $(a,b)$.
Per semplicità chiamo $E(a,b)$ il sistema che hai scritto.
Forse intendi che $S(a)$ è l'insieme dei $b in CC$ tali che il sistema $E(a,b)$ ha soluzione.
Per semplicità chiamo $E(a,b)$ il sistema che hai scritto.
Forse intendi che $S(a)$ è l'insieme dei $b in CC$ tali che il sistema $E(a,b)$ ha soluzione.
@Martino:
Sì, Martino, il verbo lì è "avere" (e non "essere", con buona pace di Erich Fromm
).
@fresin: Da $z^2 = |z|^2$ e dalla definizione $|z|^2 = z * bar(z)$ ricavi che $z^2 - z * bar(z) = 0$ ossia $z * (z-bar(z)) = 0$, ossia $z = bar(z)$ e perciò $z = x in RR$.
Ora, $x=0$ non è soluzione della prima, quindi possiamo scartare questa eventualità.
Se $x!= 0$, dalla prima segue:
$(a-b)^2 = -4/x^2 < 0$
quindi $a-b = +- 2/|x|\ i$ è immaginario puro. Dunque se il sistema ha soluzione allora $a = b + t i$ con $t in RR \setminus\{ 0\}$.
Viceversa, se $a = b + t i$ con $t \in RR\setminus \{0\}$, si ha:
$(b(z -bar(z)) + t i z)(b(z - bar(z)) - t i z) = b^2 (z - bar(z))^2 + t^2 z^2$
quindi il sistema è equivalente a:
$\{(b^2 (z - bar(z))^2 + t^2 z^2 = 4),(z(z - bar(z)) = 0):} => \{(t^2 z^2 = 4),(z - bar(z) = 0):} => \{(x=+- 2/|t|),(z=x):}$
quindi ha due soluzioni.
Graficamente, fissato $a in CC$, l'insieme dei parametri $b$ per cui il sistema ha soluzione coincide con l'unione delle due semirette aperte di origine $a$ parallele all'asse immaginario.
"Martino":
La definizione di $S(a)$ mi sembra sbagliata, non ha molto senso. L'incognita del sistema è $z$, non è $(a,b)$.
Per semplicità chiamo $E(a,b)$ il sistema che hai scritto.
Forse intendi che $S(a)$ è l'insieme dei $b in CC$ tali che il sistema $E(a,b)$ ha soluzione.
Sì, Martino, il verbo lì è "avere" (e non "essere", con buona pace di Erich Fromm
).@fresin: Da $z^2 = |z|^2$ e dalla definizione $|z|^2 = z * bar(z)$ ricavi che $z^2 - z * bar(z) = 0$ ossia $z * (z-bar(z)) = 0$, ossia $z = bar(z)$ e perciò $z = x in RR$.
Ora, $x=0$ non è soluzione della prima, quindi possiamo scartare questa eventualità.
Se $x!= 0$, dalla prima segue:
$(a-b)^2 = -4/x^2 < 0$
quindi $a-b = +- 2/|x|\ i$ è immaginario puro. Dunque se il sistema ha soluzione allora $a = b + t i$ con $t in RR \setminus\{ 0\}$.
Viceversa, se $a = b + t i$ con $t \in RR\setminus \{0\}$, si ha:
$(b(z -bar(z)) + t i z)(b(z - bar(z)) - t i z) = b^2 (z - bar(z))^2 + t^2 z^2$
quindi il sistema è equivalente a:
$\{(b^2 (z - bar(z))^2 + t^2 z^2 = 4),(z(z - bar(z)) = 0):} => \{(t^2 z^2 = 4),(z - bar(z) = 0):} => \{(x=+- 2/|t|),(z=x):}$
quindi ha due soluzioni.
Graficamente, fissato $a in CC$, l'insieme dei parametri $b$ per cui il sistema ha soluzione coincide con l'unione delle due semirette aperte di origine $a$ parallele all'asse immaginario.
Ok capito, grazie a tutti e due.
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