Esercizio sugli zeri di una funzione
Data $ f(x)=arctan^70(x)+ln(abs(1+x^{77}))-77x^{77}$ devo dimostrare che $f(x)=0$ ha almeno quattro soluzioni reali.
Osservo che tolto $x=-1$ la funzione è continua. Inoltre $\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=+\infty$ e $\lim_{x\rightarrow-1^{-}}f(x)=-\infty$, dunque ho almeno una soluzione in $(-\infty, -1)$. Tale soluzione è unica in quanto in tale intervallo la funzione è monotona decrescente infatti $f'(x)=-5929 x^76+77 x^76 /(1+x^77)+(70 arctan^{69}(x))/(1+x^2)<0$ nell'intervallo $(-\infty, -1)$.
Osservo che $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=-\infty$ dunque se esiste $x>0$ per cui $f(x)>0$ allora ho un'altra soluzione. Provo a sostituire $x=1/77$ e ottengo che $ f(1/77)=arctan^70(1/77)+ln(abs(1+(1/77)^{77}))-77(1/77)^{77}$. Studiando i singoli addendi noto che:
- $arctan(1/77)\approx 1/77$ dunque $arctan^70(1/77)\approx (1/77)^{70}$;
- $ln(abs(1+(1/77)^{77}))>0$;
- $-77(1/77)^{77}=-(1/77)^{76}$.
Ovviamente $(1/77)^{70}>(1/77)^{77}$ dunque $(1/77)^{70}-(1/77)^{77}>0$ e $f(1/77)>0$, pertanto ho un'altra soluzione.
Banalmente $f(0)=0$. Osservo inoltre che $f'(0)=0$ e provo a controllare le derivate successive. La prima derivata non nulla è la derivata 77-esima (o almeno è una buona candidata) e dovrebbe essere negativa ( o almeno così suggeriscono l'intuito e la derivata 77-esima di $-77x^{77}$, le altre derivate mi sembrano "trascurabili"). Se ciò è vero allora in $x=0$ ho un flesso discendente e, poiché $\lim_{x\rightarrow-1^{+}}f(x)=-\infty$ e $f$ è continua, ho un'altra soluzione.
Torna tutto o ho vaneggiato? Nel caso non abbia detto grandi stupidaggini, qualcuno mi potrebbe consigliare un'idea per aggiustare i buchi lasciati?
Ringrazio chiunque abbia prestato attenzione!
P.S. l'esercizio chiedeva anche la derivata 2015-esima in $x=0$, ignoro come trovarla.
Osservo che tolto $x=-1$ la funzione è continua. Inoltre $\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=+\infty$ e $\lim_{x\rightarrow-1^{-}}f(x)=-\infty$, dunque ho almeno una soluzione in $(-\infty, -1)$. Tale soluzione è unica in quanto in tale intervallo la funzione è monotona decrescente infatti $f'(x)=-5929 x^76+77 x^76 /(1+x^77)+(70 arctan^{69}(x))/(1+x^2)<0$ nell'intervallo $(-\infty, -1)$.
Osservo che $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=-\infty$ dunque se esiste $x>0$ per cui $f(x)>0$ allora ho un'altra soluzione. Provo a sostituire $x=1/77$ e ottengo che $ f(1/77)=arctan^70(1/77)+ln(abs(1+(1/77)^{77}))-77(1/77)^{77}$. Studiando i singoli addendi noto che:
- $arctan(1/77)\approx 1/77$ dunque $arctan^70(1/77)\approx (1/77)^{70}$;
- $ln(abs(1+(1/77)^{77}))>0$;
- $-77(1/77)^{77}=-(1/77)^{76}$.
Ovviamente $(1/77)^{70}>(1/77)^{77}$ dunque $(1/77)^{70}-(1/77)^{77}>0$ e $f(1/77)>0$, pertanto ho un'altra soluzione.
Banalmente $f(0)=0$. Osservo inoltre che $f'(0)=0$ e provo a controllare le derivate successive. La prima derivata non nulla è la derivata 77-esima (o almeno è una buona candidata) e dovrebbe essere negativa ( o almeno così suggeriscono l'intuito e la derivata 77-esima di $-77x^{77}$, le altre derivate mi sembrano "trascurabili"). Se ciò è vero allora in $x=0$ ho un flesso discendente e, poiché $\lim_{x\rightarrow-1^{+}}f(x)=-\infty$ e $f$ è continua, ho un'altra soluzione.
Torna tutto o ho vaneggiato? Nel caso non abbia detto grandi stupidaggini, qualcuno mi potrebbe consigliare un'idea per aggiustare i buchi lasciati?
Ringrazio chiunque abbia prestato attenzione!
P.S. l'esercizio chiedeva anche la derivata 2015-esima in $x=0$, ignoro come trovarla.
Risposte
Rispondo soprattutto a questo punto
la derivata della somma è la somma delle derivate. In un intorno dello zero:
$f(x)=arctan^70 (x)+ln(1+x^77)-77x^77$ dunque
$D(f(x))=D(arctan^70 (x))+D(ln(1+x^77))-D(77x^77)$
dove con $D(...)$ indico l'operazione di derivare l'argomento all'interno. L'ultimo termine vale zero a prescindere superato l'ordine $77$ e non dà problemi.
Per gli altri si può usare lo sviluppo di McLaurin di ogni termine e trovare, per ognuna, quanto vale la derivata 2015-esima tramite tali serie.
Si tratta di un calcolo pesantuccio ma dovrebbe funzionare.
"HegManga":
P.S. l'esercizio chiedeva anche la derivata 2015-esima in $x=0$, ignoro come trovarla.
la derivata della somma è la somma delle derivate. In un intorno dello zero:
$f(x)=arctan^70 (x)+ln(1+x^77)-77x^77$ dunque
$D(f(x))=D(arctan^70 (x))+D(ln(1+x^77))-D(77x^77)$
dove con $D(...)$ indico l'operazione di derivare l'argomento all'interno. L'ultimo termine vale zero a prescindere superato l'ordine $77$ e non dà problemi.
Per gli altri si può usare lo sviluppo di McLaurin di ogni termine e trovare, per ognuna, quanto vale la derivata 2015-esima tramite tali serie.
Si tratta di un calcolo pesantuccio ma dovrebbe funzionare.
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