Esercizio sugli spettri di un operatore
Salve a tutti, chiedo un aiuto per risolvere il seguente esercizio.
Sia lo shift destro \(\displaystyle S( \xi_1, \xi_2, \xi_3, \dots ) = (0, \xi_1, \xi_2, \dots) \). Considerando \(\displaystyle S \) prima come operatore in \(\displaystyle \ell^1 \) e poi come operatore in \(\displaystyle \ell^\infty \), calcolare gli spettri di \(\displaystyle S \).
Gli spettri a cui mi riferisco sono lo spettro puntuale, continuo e residuo, ovvero rispettivamente
\(\displaystyle \sigma_p(T)=\{ \lambda \in \mathbb{C} : \text{Ker}(T-\lambda) \neq \{0\} \} \)
\(\displaystyle \sigma_c(T) = \{\lambda \in \mathbb{C} : \text{Ker}(T-\lambda) = \{0\} \text{ e con } \text{Ran}(T - \lambda ) \text{ denso ma non chiuso} \} \)
\(\displaystyle \sigma_r(T) = \{ \lambda \in \mathbb{C} : \text{Ker}(T-\lambda) = \{0\} \text{ e con } \text{Ran}(T - \lambda ) \text{ non denso} \} \)
per ogni operatore tra spazi di Banach complessi \(\displaystyle T \).
Il caso cui lo shift venga considerato come operatore di \(\displaystyle \ell^1 \) dovrei essere riuscito a farlo, mi viene che lo spettro è formato solo dallo spettro residuo e che questo è il disco unitario chiuso. L'altro caso non riesco a concluderlo, boh forse mi sono solo impicciato, mi capita di perdermi in un bicchier d'acqua. Grazie (:
Sia lo shift destro \(\displaystyle S( \xi_1, \xi_2, \xi_3, \dots ) = (0, \xi_1, \xi_2, \dots) \). Considerando \(\displaystyle S \) prima come operatore in \(\displaystyle \ell^1 \) e poi come operatore in \(\displaystyle \ell^\infty \), calcolare gli spettri di \(\displaystyle S \).
Gli spettri a cui mi riferisco sono lo spettro puntuale, continuo e residuo, ovvero rispettivamente
\(\displaystyle \sigma_p(T)=\{ \lambda \in \mathbb{C} : \text{Ker}(T-\lambda) \neq \{0\} \} \)
\(\displaystyle \sigma_c(T) = \{\lambda \in \mathbb{C} : \text{Ker}(T-\lambda) = \{0\} \text{ e con } \text{Ran}(T - \lambda ) \text{ denso ma non chiuso} \} \)
\(\displaystyle \sigma_r(T) = \{ \lambda \in \mathbb{C} : \text{Ker}(T-\lambda) = \{0\} \text{ e con } \text{Ran}(T - \lambda ) \text{ non denso} \} \)
per ogni operatore tra spazi di Banach complessi \(\displaystyle T \).
Il caso cui lo shift venga considerato come operatore di \(\displaystyle \ell^1 \) dovrei essere riuscito a farlo, mi viene che lo spettro è formato solo dallo spettro residuo e che questo è il disco unitario chiuso. L'altro caso non riesco a concluderlo, boh forse mi sono solo impicciato, mi capita di perdermi in un bicchier d'acqua. Grazie (:
Risposte
Della serie "fatti una domanda e datti una risposta": l'esercizio consiste nella proposizione 6.5. a pagina 209 del testo di Conway, "A course in functional analysis".
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo