Esercizio sugli spazi di Banach
Mi viene richiesto di dimostrare che $C^2([-1,1], \mathbb{R})$ non è uno spazio di Banach se dotato della norma
$D_1(f) = "sup"_{x \in [-1,1]} |f'(x)| + |f(0)|$
e mi viene suggerito di considerare la successione $f_n(x) = \int_0^x \sqrt{t^2 + \frac{1}{n^2}} dt$. Risulta $f_n \in C^2([-1,1]) \quad \forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$, ma il limite puntuale è
$f(x) = \{(\frac{x^2}{2}, "se " x \in [0,1]),(-\frac{x^2}{2}, "se " x \in [-1,0)):}$
e tale funzione non è $C^2$. Per dimostrare la tesi, mi basta mostrare che $D_1(f_n - f)$ tende a zero per $n \to +\infty$?
$D_1(f) = "sup"_{x \in [-1,1]} |f'(x)| + |f(0)|$
e mi viene suggerito di considerare la successione $f_n(x) = \int_0^x \sqrt{t^2 + \frac{1}{n^2}} dt$. Risulta $f_n \in C^2([-1,1]) \quad \forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$, ma il limite puntuale è
$f(x) = \{(\frac{x^2}{2}, "se " x \in [0,1]),(-\frac{x^2}{2}, "se " x \in [-1,0)):}$
e tale funzione non è $C^2$. Per dimostrare la tesi, mi basta mostrare che $D_1(f_n - f)$ tende a zero per $n \to +\infty$?
Risposte
Mostrare quella convergenza è una strada possibile per dimostrare che quella norma non ti rende $C^2$ di Banach.
Ok, grazie Luca.
"Tipper":
Mi viene richiesto di dimostrare che $C^2([-1,1], \mathbb{R})$ non è uno spazio di Banach se dotato della norma
$D_1(f) = "sup"_{x \in [-1,1]} |f'(x)| + |f(0)|$
e mi viene suggerito di considerare la successione $f_n(x) = \int_0^x \sqrt{t^2 + \frac{1}{n^2}} dt$. Risulta $f_n \in C^2([-1,1]) \quad \forall n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$, ma il limite puntuale è
$f(x) = \{(\frac{x^2}{2}, "se " x \in [0,1]),(-\frac{x^2}{2}, "se " x \in [-1,0)):}$
e tale funzione non è $C^2$. Per dimostrare la tesi, mi basta mostrare che $D_1(f_n - f)$ tende a zero per $n \to +\infty$?
Per come hai definito la norma in $C^2([-1,1])$, una successione $(f_n)subset C^2([-1,1])$ è di Cauchy se e solo se sono uniformemente convergenti in $[-1,1]$ le successioni $(f_n), (f'_n)$.
Quindi, per provare che il tuo spazio normato non è completo ti basta trovare una successione $(g_n)in C([-1,1])$ uniformemente convergente che non abbia $(g'_n)$ uniformemente convergente: infatti, posto $f_n(x)=\int_0^x g_n(t)dt$ per ogni indice $n$, verifichi senza sforzo che $(f_n)$ è di Cauchy in norma $D_1$, ma ha $lim_n f''_n=lim_n g'_n notin C([-1,1])$, cosicchè $(f_n)$ non converge in $C^2([-1,1])$.
Tutti i grandi teoremi sono stati scoperti prima di mezzanotte. (me stesso)
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