Esercizio sugli operatore limitati
Salve a tutti,vorrei sapere perfavore se l'esercizo riportato qui di seguito l'ho svolto in maniera corretta !
ESERCIZIO: Siano $ X,Y$ spazi di Banach su un campo $K$ e sia $ T: X \rightarrow \Y $ un operatore lineare.Si supponga che $ T $ sia tale che $ ||x_n||\rightarrow\ 0 $ implica che $ Tx_n \rightarrow\ 0 $ ,si dimostri che $ T $ sia un operatore limitato .
Svolgimento : Voglio usare il teorema del grafico chiuso . Suppongo che $ T $ non sia limitato,cioè che esiste una successione $ x_n \in X$ tale che $ ||x_n ||=1 $ implica che $ Tx_n $ converge ad infinito; se $ T $ fosse chiuso vorrebbe dire che se $x_n \rightarrow \x $ in $ X $ e $ Tx_n \rightarrow\ y $ in $ Y $ allora $ x\in X $ e $ y=Tx $ ,ma per ipotesi si ha che $ ||x_n-x||\rightarrow\0 $ implica che $ T(x_n-x)\rightarrow \ 0 $ ,cioè $ Tx_n\rightarrow\ Tx $ ,quindi $ T $ è chiuso e per il teoremadel grafico chiuso $ T$ è anche limitato,ma ciò contraddice l'ipotesi.
E' corretto lo svolgimento ?
Grazie.
ESERCIZIO: Siano $ X,Y$ spazi di Banach su un campo $K$ e sia $ T: X \rightarrow \Y $ un operatore lineare.Si supponga che $ T $ sia tale che $ ||x_n||\rightarrow\ 0 $ implica che $ Tx_n \rightarrow\ 0 $ ,si dimostri che $ T $ sia un operatore limitato .
Svolgimento : Voglio usare il teorema del grafico chiuso . Suppongo che $ T $ non sia limitato,cioè che esiste una successione $ x_n \in X$ tale che $ ||x_n ||=1 $ implica che $ Tx_n $ converge ad infinito; se $ T $ fosse chiuso vorrebbe dire che se $x_n \rightarrow \x $ in $ X $ e $ Tx_n \rightarrow\ y $ in $ Y $ allora $ x\in X $ e $ y=Tx $ ,ma per ipotesi si ha che $ ||x_n-x||\rightarrow\0 $ implica che $ T(x_n-x)\rightarrow \ 0 $ ,cioè $ Tx_n\rightarrow\ Tx $ ,quindi $ T $ è chiuso e per il teoremadel grafico chiuso $ T$ è anche limitato,ma ciò contraddice l'ipotesi.
E' corretto lo svolgimento ?
Grazie.
Risposte
Non ho letto nel dettaglio la tua dimostrazione, ma senza scomodare teoremoni direi che basta scriversi la definizione di continuità nell'origine (quella $\epsilon$-$\delta$).
Ma guarda, marge45, la dimostrazione che hai scritto è inutilmente complicata.
Infatti dimostrare la continuità di \(T\) in ogni \(x\in X\) è davvero facile facile usando le ipotesi.
Invero, fissato \(x\in X\) e scelta una successione \(x_n\to x\) in \(X\), si ha \(\lVert x_n-x\rVert_X\to 0\) ergo \(T(x_n-x)\to o_Y\) (per ipotesi) e \(Tx_n\to Tx\) in \(Y\) (per linearità), cosicché \(T\) è continuo e dunque anche limitato.
Inoltre, mi pare che tu stia confondendo ciò che vuoi dimostrare con la dimostrazione del teorema del grafico chiuso.
Il teorema del grafico chiuso ti assicura che, se \(T:X\to Y\) è lineare tra due Banach, allora le condizioni:
i) \(T\) è continuo (o, ciò che è lo stesso, limitato),
ii) \(T\) ha il grafico chiuso,
sono equivalenti.
Quindi se supponi che \(T\) non è limitato, automaticamente stai assumendo anche che \(T\) non ha il grafico chiuso e non puoi dire "se il grafico di \(T\) è chiuso", perché non lo è affatto nel tuo schema.
Infatti dimostrare la continuità di \(T\) in ogni \(x\in X\) è davvero facile facile usando le ipotesi.
Invero, fissato \(x\in X\) e scelta una successione \(x_n\to x\) in \(X\), si ha \(\lVert x_n-x\rVert_X\to 0\) ergo \(T(x_n-x)\to o_Y\) (per ipotesi) e \(Tx_n\to Tx\) in \(Y\) (per linearità), cosicché \(T\) è continuo e dunque anche limitato.
Inoltre, mi pare che tu stia confondendo ciò che vuoi dimostrare con la dimostrazione del teorema del grafico chiuso.
Il teorema del grafico chiuso ti assicura che, se \(T:X\to Y\) è lineare tra due Banach, allora le condizioni:
i) \(T\) è continuo (o, ciò che è lo stesso, limitato),
ii) \(T\) ha il grafico chiuso,
sono equivalenti.
Quindi se supponi che \(T\) non è limitato, automaticamente stai assumendo anche che \(T\) non ha il grafico chiuso e non puoi dire "se il grafico di \(T\) è chiuso", perché non lo è affatto nel tuo schema.
Grazie !
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