Esercizio sugli integrali generalizzati con estremi difficili

[serafila]

Ciao ragazzi, ho un dubbio:

Sto studiando la teoria e ho trovato che $\int_0^t 1/x^adx$ converge per a<1 ,
mentre $\int_t^infty 1/x^a dx$ converge per a>1 (t diverso da 0).
Questo perché la sua primitiva è:
$ 1/(1-a)x^(1-a) $ e nel caso infinito 1-a<0 , a>1 e nel caso 0 1-a>0, a<1.
Ma come combino le 2 cose? Come risolvo:

$\int_0^infty 1/x^adx$ ?

Se devo verificare entrambi gli estremi allora a>1 e a<1 il che è impossibile. Quindi questo integrale non è integrabile in senso generalizzato tra 0 e infinito. Giusto?

Ora ho questo integrale:

$\int_0^infty x*sen(x^6)dx$=Z $ t=x^6 ; dt=6x^5dx ; x=+-t^(1/6) ; x^4=+-t^(2/3) $ da cui segue:

Z=$\int_0^infty sen(t)*dt/(6x^4)=+-1/6\int_0^infty sent*dt/t^(2/3)$
Ora applico il criterio di Abel-Dirichlet

1) integrale di sent è limitato
2) 1/t^(2/3) --->0 per x--->infinito
3) $(1/t^(2/3))'=-2/3*(1/t^(5/3)))$

Il problema è che adesso ho integrale da 0 a infinito di 1/t^(5/3) che non so come risolvere

[Noisemaker]

per la prima domanda ok! l'integrale in $(0;+\infty)$ non è finito.

Per la seconda domanda, il criterio cui credo fai riferimento è il seguente?

conisderiamo l'integrale improprio
\[\int_{0}^{+\infty}g(x)s(x)\,\,dx.\qquad\qquad\qquad (1)\]
Se la funzione (complessa) $g(x)$ ha derivata continua a tratti su $(a;+\infty)$ e tende a zero per $x\to+\infty,$ e se $s(x)$ ha una primitiva limitata $G(x),$ cioè $|G(x)|

[serafila]

Faccio riferimento al criterio di Abel-Dirichlet per gli integrali, è simile a ciò che scrivi tu ma manca un pezzo:
s(x) continua e con primitiva limitata, g(x) tende a zero per x che tende a infinito E g(x)' integrabile ASSOLUTAMENTE in senso generalizzato su [o,infinito[. forse tu fai riferimento al caso complesso che io non conosco.
Però se 1/x^a non è integrabile in senso generalizzato tra 0 e infinito qui a=-5/3 e abbiamo risolto.

[Noisemaker]

Riscrivi l'integranda cosi:
\begin{align}
\int_{0}^{+\infty} \frac{x^5\sin x^6}{ x^4 },
\end{align}
e poni:
\begin{align}
g(x):= x^5\sin x^6,\qquad \mbox{e}\qquad h(x):=\frac{1}{x^4};
\end{align}
se applichi Abel-Dirichlet, devi far vedere che $ h(x):=\frac{1}{x^4}$ è monotona ed infinitesima in $(0,+\infty),$ e lo è, e che $g(x):=x^5\sin x^6$ è limitata e integrabile in ogni intervallo $(a_1,b_1)\subset(0;+\infty)$ e che esiste una costante $K$ tale che per ogni $(a_1,b_1)$
\begin{align}
\left|\int_{a_1}^{b_1} g(x)\,\,dx\right| \end{align}
allora hai che:
\begin{align}
\left|\int_{a_1}^{b_1} x^5\sin x^6\,\,dx\right|=\frac{1}{6}\left| -\cos x^6 \right|_{a_1}^{b_1}& = \frac{1}{6}\left| -\cos (b^6_1)+ \cos (a^6_1) \right|\\
&< \frac{1}{6}\left| -\cos (b^6_1) \right|+\left| \cos (a^6_1) \right|<\frac{1}{3};
\end{align}
allora puoi concludere che l'integrale dato è convergente.

[serafila]

Secondo me dimentichi sempre un pezzo: per la parte della limitata ok, per 1/x^4 è monotona e infinitesima per x--->infinito ok. Ma dimentichi che la sua derivata prima, cioè -4*x^-3 deve essere assolutamente integrabile tra 0 e infinito. Dimentichi la 3 parte del criterio.

[Noisemaker]

E' sufficiente verificare cha la funzione $h(x)$ tenda a zero monotomate e abbia derivata prima continua (a tratti). Infatti con questa ipotesi, la funzione $h'(x)$ non cambia segno e
\[\int_{a}^{x}|h'(x)|\,\,dt=\left|\int_{a}^{x} h'(t) \,\,dt\right|=\left|h(x)-h(a)\right|\]
tende ad un limite finito per $x\to+\infty,$ cosicchè $|h'(x)|$ è integrabile.

Se la funzione $f(x)$ è il prodotto delle due funzioni $g(x)$ $h(x)$ delle quali:

[*:1p5dg91u]$g(x)$ è limitata e integrabile in ogni intervallo $(a_1,b_1)\subset(a+\infty)$ e se esiste una costante $K$ tale che per ogni $(a_1,b_1)$
\begin{align*}
\left|\int_{a_1}^{b_1} g(x)\,\,dx\right| \end{align*} [/*:m:1p5dg91u]
[*:1p5dg91u]se $h(x)$ è monotona ed infinitesima in $(a, +\infty)$ per $x\to+\infty ,$
[/*:m:1p5dg91u][/list:u:1p5dg91u]
allora l'integrale improprio
\begin{align*}
\int_{a}^{+\infty} g(x)h(x)\,\,dx
\end{align*}
è convergente.

[serafila]

h(x)--->0 per x--->infinito e su questo siamo d'accordo entrambi. Tu introduci anche che h(x) è monotona, assumiamolo pure.
Sono d'accordo quando dici:

\[\int_{a}^{x}|h'(t)|\,\,dt=\left|\int_{a}^{x} h'(t) \,\,dt\right|=\left|h(x)-h(a)\right|\] (ho corretto x con t)

Adesso h(x)--->0 però bisogna vedere cosa fa h(a). Nel mio cosa a=0 e h(x)=1/x^4 ; h(0)=1/0^4=infinito.
L'integrale non converge.

[Noisemaker]

forse hai fatto confusione, o forse ne ho fatta io con i post, ma il riferimoto alla funzione $h(x)$ è al teorema del post precedente quotato, non a quella che scrivi tu...
poi, in ogni caso
\[x\sin x^6\]
in zero non ha problemi ... è continua e quindi integrabile.