Esercizio sugli integrali e serie
salve a tutti ho il seguente esercizio :
$I_n=\int(tan^(n)xdx$
1) calcolare $I_3$;
2)calcolare $I_4$;
3)determinare la formula per ricorrenda di $I_n$;
4)deterinare l'insieme di convergenza della serie : $\sum_{n=2}^(+infty) I_(n)+I_(n-2)$.
allora sto avendo avendo difficoltà con il primo punto io vado a fare l'integrale e l'ho scomposto in questo modo $\inttan^(3)xdx=\int(sen^(3)x)/(cos^(3)x)dx=\int(sen^(2)x)/(cos^(2)x)*(senx)/cosx dx=\int(1-cos^(2)x)/cos^(2)x*(senx)/cosx dx=\int((1/cos^(2)x)-1)*(senx)/cosx dx=\int(senx)/((cos^(2)x)*(cosx))dx-\int(senx)/cosx dx$
va bene il mio ragionamento o ho sbagliato a fare cosi? perchè facendo in questo modo il secondo integrale riesco a farlo facilmente mentre il primo è molto problematico.
per quanto riguarda il 3 punto penso di aver capito come ricavarla pero ovviamente se non mi trovo gli integrali non posso farla e penso che il 4 punto è collegato al 3 quindi non posso saltare nulla. so che vi sto chiedendo molto ma mi sto preparando per l'esame di analisi e ho bisogno del vostro aiuto
mi basta anche che mi dite come procedere con gli integrali provo a farli io da zero grazie mille in anticipo
$I_n=\int(tan^(n)xdx$
1) calcolare $I_3$;
2)calcolare $I_4$;
3)determinare la formula per ricorrenda di $I_n$;
4)deterinare l'insieme di convergenza della serie : $\sum_{n=2}^(+infty) I_(n)+I_(n-2)$.
allora sto avendo avendo difficoltà con il primo punto io vado a fare l'integrale e l'ho scomposto in questo modo $\inttan^(3)xdx=\int(sen^(3)x)/(cos^(3)x)dx=\int(sen^(2)x)/(cos^(2)x)*(senx)/cosx dx=\int(1-cos^(2)x)/cos^(2)x*(senx)/cosx dx=\int((1/cos^(2)x)-1)*(senx)/cosx dx=\int(senx)/((cos^(2)x)*(cosx))dx-\int(senx)/cosx dx$
va bene il mio ragionamento o ho sbagliato a fare cosi? perchè facendo in questo modo il secondo integrale riesco a farlo facilmente mentre il primo è molto problematico.
per quanto riguarda il 3 punto penso di aver capito come ricavarla pero ovviamente se non mi trovo gli integrali non posso farla e penso che il 4 punto è collegato al 3 quindi non posso saltare nulla. so che vi sto chiedendo molto ma mi sto preparando per l'esame di analisi e ho bisogno del vostro aiuto
mi basta anche che mi dite come procedere con gli integrali provo a farli io da zero grazie mille in anticipo
Risposte
Ciao Paak07,
Si dice formula di ricorrenza: comincerei proprio da qui. Integrando per parti, o più semplicemente elaborando un po' l'integrale, dopo qualche passaggio si ottiene:
$I_n = frac{tan^{n - 1} x}{n - 1} - I_{n - 2} $
dalla quale poi è più semplice calcolare $I_3$ e $I_4$.
"Paak07":
3)determinare la formula per ricorrenda di $I_n$;
Si dice formula di ricorrenza: comincerei proprio da qui. Integrando per parti, o più semplicemente elaborando un po' l'integrale, dopo qualche passaggio si ottiene:
$I_n = frac{tan^{n - 1} x}{n - 1} - I_{n - 2} $
dalla quale poi è più semplice calcolare $I_3$ e $I_4$.
ma per determinarla non dovrei fare prima gli integrali?
No. Quella formula di ricorrenza si può ricavare per parti o più semplicemente elaborando un po' l'integrale, considerando che
$I_n := \int tan^{n} x dx = \int tan^{n - 2}x \cdot tan^2 x dx = \int tan^{n - 2}x (sec^2 x - 1) dx = $
$ = \int tan^{n - 2}x sec^2 x dx - \int tan^{n - 2} x dx = frac{tan^{n - 1}x}{n - 1} - I_{n - 2}$
Per trovare $I_3$ usando la formula di ricorrenza ti basta conoscere $I_1$ che è immediato:
$I_1 = \int tan x dx = - \ln|cos x| + c $
$I_3 = frac{tan^{2}x}{2} - I_1 = frac{tan^{2}x}{2} + \ln|cos x| + c $
Per calcolare $I_4$ con la formula di ricorrenza ti serve $I_2$ che a sua volta si ricava da $I_0$ che è immediato:
$I_0 = \int tan^0 x dx = \int dx = x + c $
$I_2 = tan x - I_0 = tan x - x + c $
$I_4 = frac{tan^{3}x}{3} - I_2 = frac{tan^{3}x}{3} - tan x + x + c $
$I_n := \int tan^{n} x dx = \int tan^{n - 2}x \cdot tan^2 x dx = \int tan^{n - 2}x (sec^2 x - 1) dx = $
$ = \int tan^{n - 2}x sec^2 x dx - \int tan^{n - 2} x dx = frac{tan^{n - 1}x}{n - 1} - I_{n - 2}$
Per trovare $I_3$ usando la formula di ricorrenza ti basta conoscere $I_1$ che è immediato:
$I_1 = \int tan x dx = - \ln|cos x| + c $
$I_3 = frac{tan^{2}x}{2} - I_1 = frac{tan^{2}x}{2} + \ln|cos x| + c $
Per calcolare $I_4$ con la formula di ricorrenza ti serve $I_2$ che a sua volta si ricava da $I_0$ che è immediato:
$I_0 = \int tan^0 x dx = \int dx = x + c $
$I_2 = tan x - I_0 = tan x - x + c $
$I_4 = frac{tan^{3}x}{3} - I_2 = frac{tan^{3}x}{3} - tan x + x + c $
Penso di aver capito i passaggi che hai fatto pero ad esempio io come faccio a sapere a priori che devo scomporre in quel modo l'integrale? Perchè ovviamente ora che mi hai dato la formula per ricorrenza diventa un gioco da ragazzi fare i due integrali
"Paak07":
come faccio a sapere a priori che devo scomporre in quel modo l'integrale?
Beh, quando si deve risolvere un integrale non si sa mai a priori come si deve fare, a meno che non sia fra quelli immediati: si fanno dei tentativi. Se vuoi, prova a farlo per parti: è un po' più laborioso, ma ci si riesce. Altrimenti puoi sfruttare le analoghe formule con seno e coseno, che si trovano più facilmente integrando per parti:
$\int sin^n (ax) dx = - frac{sin^{n - 1}(ax)cos(ax)}{an} + frac{n - 1}{n}\int sin^{n - 2}(ax) dx $
$\int cos^n (ax) dx = frac{sin(ax)cos^{n - 1}(ax)}{an} + frac{n - 1}{n}\int cos^{n - 2}(ax) dx $
Derivandole, facendo il rapporto fra $sin^n (ax) $ e $cos^n(ax) $ e poi integrando, dopo un po' di calcoli alla fine si ottiene:
[tex]\begin{equation}
\boxed{I_{n}(a) = \int \tan^n (ax) dx =
\begin{cases}
-\dfrac{1}{a}\ln|\cos(ax)| + c & \text{per $n = 1$}\\
& \\
\dfrac{1}{a(n - 1)} \tan^{n - 1}(ax) - I_{n - 2}(a) & \text{per $n \ne 1$}
\end{cases}}
\end{equation}[/tex]
Il tuo è il caso particolare che si ottiene per $a = 1$.
allora l'integrale di $tan^(3)$ sono riuscito a farlo per parti, ho provato a fare quello di $tan^(4)x$ ma è abbastanza complicato volevo chiedere se il mio ragionamento è giusto. Allora ipotizzando una risposta da dare alla prof nel caso in cui mi chiedesse come farlo avevo pensato di dirle: "invece di risolvere direttamente l'integrale di $tan^(4)x$ ci conviene determinarci la formula per ricorrenza studiando l'integrale di $tan^(2)x$ e quello di $tan^(3)x$ e poi cosi risolverci semplicemente l'integrale di partenza" va bene il mio ragionamento(?)
poi sull'ultimo non so come procedere non ho proprio idee
poi sull'ultimo non so come procedere non ho proprio idee
"Paak07":
allora l'integrale di $tan^3$ sono riuscito a farlo per parti
Bene, anche se io intendevo dimostrare la validità della formula di ricorrenza integrando per parti $\int tan^n x dx $, ma va bene lo stesso...
"Paak07":
va bene il mio ragionamento(?)
Da raffinare... Più precisamente, per calcolare $\int tan^4 x dx $ ti basta conoscere $\int tan^2 x dx $ e $\int tan^0 x dx = x + c $;
per calcolare $\int tan^3 x dx $ ti basta conoscere $\int tan x dx $ che è un integrale immediato. In generale, se la potenza della tangente è $2m$ pari, ti servono gli integrali di tutte le potenze pari da $2m - 2$ fino a $0$; se la potenza della tangente è $2m + 1$ dispari, ti servono gli integrali di tutte le potenze dispari da $2m - 1$ fino a $1$.
"Paak07":
poi sull'ultimo non so come procedere non ho proprio idee
Beh, invece è semplice: dalla formula di ricorrenza, portando a sinistra il termine $I_{n-2}$ si ottiene $I_n + I_{n - 2} = frac{tan^{n - 1}x}{n - 1}$, per cui si ha:
$\sum_{n=2}^(+infty) (I_{n}+I_{n - 2}) = \sum_{n=2}^(+infty) frac{tan^{n - 1}x}{n - 1} = \sum_{k=0}^(+infty) frac{tan^{k + 1}x}{k + 1} $
che posto $t := tan x$ diventa una serie di potenze, anche piuttosto nota. Adesso dovresti riuscire a proseguire autonomamente...
Grazie mille per la pazienza e per la disponibilità mi hai salvato!!
Prego, figurati...
Rileggendo con più attenzione il tuo OP, mi sono accorto che comunque eri quasi arrivato "a dama"...
Riprendendo da dove ti sei fermato:
$\int (sin x)/(cos^2 x \cdot cos x) dx - \int (sin x)/cosx dx = \int (tan x)/(cos^2 x) dx - \int tan x dx = $
$ = \int (tan x) d(tan x) - \int tan x dx = frac{tan^2 x}{2} + ln|cos x| + c $
che ovviamente coincide con $I_3$ già trovato con la formula di ricorrenza.
Non direi:
$\int tan^4 x dx = \int tan^2 x \cdot tan^2 x dx = \int tan^2 x \cdot (sec^2 x - 1) dx = $
$ = \int tan^2 x \cdot (sec^2 x) dx - \int tan^2 x dx = \int (tan^2 x) d(tan x) - \int (sec^2 x - 1) dx = $
$ = frac{tan^3 x}{3} - tan x + x + c $
che ovviamente coincide con $I_4$ già trovato con la formula di ricorrenza.
Rileggendo con più attenzione il tuo OP, mi sono accorto che comunque eri quasi arrivato "a dama"...
Riprendendo da dove ti sei fermato:
$\int (sin x)/(cos^2 x \cdot cos x) dx - \int (sin x)/cosx dx = \int (tan x)/(cos^2 x) dx - \int tan x dx = $
$ = \int (tan x) d(tan x) - \int tan x dx = frac{tan^2 x}{2} + ln|cos x| + c $
che ovviamente coincide con $I_3$ già trovato con la formula di ricorrenza.
"Paak07":
ho provato a fare quello di $tan^4 x $ ma è abbastanza complicato
Non direi:
$\int tan^4 x dx = \int tan^2 x \cdot tan^2 x dx = \int tan^2 x \cdot (sec^2 x - 1) dx = $
$ = \int tan^2 x \cdot (sec^2 x) dx - \int tan^2 x dx = \int (tan^2 x) d(tan x) - \int (sec^2 x - 1) dx = $
$ = frac{tan^3 x}{3} - tan x + x + c $
che ovviamente coincide con $I_4$ già trovato con la formula di ricorrenza.
A me $I_3$ viene un po' diverso:
$int(sin^3x/cos^3xdx)=int((1-cos^2x)/cos^3x d(-cosx))=int((t^2-1)/t^3) dt= int (1/t - 1/t^3)dt=log|t|+1/(2t^2)+c= log|cosx|+ 1/(2cos^2x)+c$
$int(sin^3x/cos^3xdx)=int((1-cos^2x)/cos^3x d(-cosx))=int((t^2-1)/t^3) dt= int (1/t - 1/t^3)dt=log|t|+1/(2t^2)+c= log|cosx|+ 1/(2cos^2x)+c$
Ciao Ernesto01,
Va bene anche la tua soluzione: basta che ti ricordi che $1 = \sìn^2 x + \cos^2 x $ ed arrivi alla nostra stessa soluzione...
Va bene anche la tua soluzione: basta che ti ricordi che $1 = \sìn^2 x + \cos^2 x $ ed arrivi alla nostra stessa soluzione...
Forse ho letto o capito male e in quel caso chiedo scusa, ma se a voi viene $log|cosx|+ tan^2(x)/2+ c$ abbiamo trovato due risultati diversi
Solo in apparenza... Ripeto: prova a sostituire l'$1$ che compare a numeratore nella tua soluzione con la relazione fondamentale che ho citato nel post precedente e ti accorgerai subito che le nostre soluzioni di fatto coincidono.
Eh si mi sono accorto dopo che era un integrale per parti Comunque questa relazione fra la tangente e la secante non la abbiamo mai fatta al corso c'è un'altro modo(?)
Comunque questa relazione fra la tangente e la secante non la abbiamo mai fatta al corso c'è un'altro modo(?)
Beh, se non ti piace la secante, sostituiscila con la sua definizione $frac{1}{cos x}$.
Quindi $sec^2 x = frac{1}{cos^2 x} = frac{sin^2 x + cos^2 x}{cos^2 x} = tan^2 x + 1 \implies tan^2 x = sec^2 x - 1 $
Quindi $sec^2 x = frac{1}{cos^2 x} = frac{sin^2 x + cos^2 x}{cos^2 x} = tan^2 x + 1 \implies tan^2 x = sec^2 x - 1 $
Quindi usando la definizione di secante $tan^(2)x=1/cos^(2)x-1$ giusto?
Un ultimissima cosa quando mi vado a studiare il raggio di convergenza della serie il criterio del rapporto o della radice, ma in questo caso conviene quello del rapporto, lo devo applicare a $1/(k-1)$ giusto? Spero di essermi fatto capire se no provo a spiegarmi meglio
"Paak07":
giusto?
No... Ti stai complicando la vita. Dovresti ricordarti che
$ln(1 + x) = \sum_{k = 0}^{+\infty} (-1)^k frac{x^{k + 1}}{k + 1} $
converge per $x \in (- 1, 1]$. Posto $x := - t$, si ha:
$ln(1 - t) = - \sum_{k = 0}^{+\infty} frac{t^{k + 1}}{k + 1} \implies \sum_{k = 0}^{+\infty} frac{t^{k + 1}}{k + 1} = - ln(1 - t)$
Perciò in definitiva:
$\sum_{k = 0}^{+\infty} frac{tan^{k + 1} x}{k + 1} = - ln(1 - tan x) $
per $- 1 \le tan x < 1 $. Se invece proprio non te lo ricordi, puoi sempre usare la serie geometrica ed i noti teoremi validi per le serie di potenze:
$\sum_{k = 0}^{+\infty} frac{t^{k + 1}}{k + 1} = \sum_{k = 0}^{+\infty} \int_{0}^t u^k du = \int_{0}^t \sum_{k = 0}^{+\infty} u^k du = \int_{0}^t frac{1}{1 - u} du = - \int_{0}^t frac{-1}{1 - u} du = - ln(1 - t)$
ottenendo ovviamente il medesimo risultato.
Allora anche io sono arrivato allo stesso insieme di convergenza però ho fatto cosi (sbagliando probabilmente)
$\sum_{k=0}^infty t^(k-1)/(k-1)$ io per studiare questa serie l'ho trattata come una serie di potenze quindi sono andato ad applicare il criterio del rapporto al termine $1/(k-1)$. Facendo il criterio del rapporto mi viene 1 quindi il raggio di convergenza è 1 e la serie converge nell'intervallo (-1,1). Il mio ragionamento è sbagliato?
$\sum_{k=0}^infty t^(k-1)/(k-1)$ io per studiare questa serie l'ho trattata come una serie di potenze quindi sono andato ad applicare il criterio del rapporto al termine $1/(k-1)$. Facendo il criterio del rapporto mi viene 1 quindi il raggio di convergenza è 1 e la serie converge nell'intervallo (-1,1). Il mio ragionamento è sbagliato?
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