Esercizio sugli integrali e serie
salve a tutti ho il seguente esercizio :
$I_n=\int(tan^(n)xdx$
1) calcolare $I_3$;
2)calcolare $I_4$;
3)determinare la formula per ricorrenda di $I_n$;
4)deterinare l'insieme di convergenza della serie : $\sum_{n=2}^(+infty) I_(n)+I_(n-2)$.
allora sto avendo avendo difficoltà con il primo punto io vado a fare l'integrale e l'ho scomposto in questo modo $\inttan^(3)xdx=\int(sen^(3)x)/(cos^(3)x)dx=\int(sen^(2)x)/(cos^(2)x)*(senx)/cosx dx=\int(1-cos^(2)x)/cos^(2)x*(senx)/cosx dx=\int((1/cos^(2)x)-1)*(senx)/cosx dx=\int(senx)/((cos^(2)x)*(cosx))dx-\int(senx)/cosx dx$
va bene il mio ragionamento o ho sbagliato a fare cosi? perchè facendo in questo modo il secondo integrale riesco a farlo facilmente mentre il primo è molto problematico.
per quanto riguarda il 3 punto penso di aver capito come ricavarla pero ovviamente se non mi trovo gli integrali non posso farla e penso che il 4 punto è collegato al 3 quindi non posso saltare nulla. so che vi sto chiedendo molto ma mi sto preparando per l'esame di analisi e ho bisogno del vostro aiuto
mi basta anche che mi dite come procedere con gli integrali provo a farli io da zero grazie mille in anticipo
$I_n=\int(tan^(n)xdx$
1) calcolare $I_3$;
2)calcolare $I_4$;
3)determinare la formula per ricorrenda di $I_n$;
4)deterinare l'insieme di convergenza della serie : $\sum_{n=2}^(+infty) I_(n)+I_(n-2)$.
allora sto avendo avendo difficoltà con il primo punto io vado a fare l'integrale e l'ho scomposto in questo modo $\inttan^(3)xdx=\int(sen^(3)x)/(cos^(3)x)dx=\int(sen^(2)x)/(cos^(2)x)*(senx)/cosx dx=\int(1-cos^(2)x)/cos^(2)x*(senx)/cosx dx=\int((1/cos^(2)x)-1)*(senx)/cosx dx=\int(senx)/((cos^(2)x)*(cosx))dx-\int(senx)/cosx dx$
va bene il mio ragionamento o ho sbagliato a fare cosi? perchè facendo in questo modo il secondo integrale riesco a farlo facilmente mentre il primo è molto problematico.
per quanto riguarda il 3 punto penso di aver capito come ricavarla pero ovviamente se non mi trovo gli integrali non posso farla e penso che il 4 punto è collegato al 3 quindi non posso saltare nulla. so che vi sto chiedendo molto ma mi sto preparando per l'esame di analisi e ho bisogno del vostro aiuto
mi basta anche che mi dite come procedere con gli integrali provo a farli io da zero grazie mille in anticipo
Risposte
"Paak07":
Il mio ragionamento è sbagliato?
Sì, perché hai sbagliato la serie: c'è $k + 1$...
Il raggio di convergenza della serie non vedo a cosa ti serva (non era richiesto nell'OP), mentre la serie converge nell'intervallo $[-1,1)$. Poi ricordati che $t:= tan x $... Alla fine risulta come ti ho scritto nel mio post precedente.
"pilloeffe":mi sono accorto che non avevo fatto caso al cambio di segno in questo passaggio
$\sum_{n=2}^(+infty) (I_{n}+I_{n - 2}) = \sum_{n=2}^(+infty) frac{tan^{n - 1}x}{n - 1} = \sum_{k=0}^(+infty) frac{tan^{k + 1}x}{k + 1} $
ma come mai passi da k-1 a k+1? So che saranno tutte domande banali ma noi le serie di funzioni le abbiamo fatte poco e male perche abbiamo detto solo come ci si trova il raggio di convergenza
"Paak07":
come mai passi da k-1 a k+1
No, da $n - 1$ a $k + 1$. Si tratta di una semplice traslazione di indici: se $n$ va da $2$ a $+\infty$, allora, posto $n:= k + 2$, $k$ va da $0$ a $+\infty$. Il motivo per il quale l'ho fatto è per ricondurre la serie proposta a serie che dovrebbero esserti ben note:
$\sum_{k = 0}^{+\infty} (-1)^k frac{x^{k + 1}}{k + 1} = ln(1 + x)$, per $x \in (-1, 1]$
$\sum_{k = 0}^{+\infty} x^k = frac{1}{1 - x} $, per $|x| < 1$
Grazie mille ora mi è tutto chiaro!!
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