Esercizio sugli integrali curvlinei e omotopie
Salve sono alle prese con la preparazione di analisi 2 e nonostante i classici esercizi fino ad ora incontrati non mi hanno dato enormi problemi mi sono imbattuto in questo esercizio che ho difficolta anche ad inizare a risolvere ... si accettano consigli ... spunti ... e tutto quello avete da insegnare ..... grazie preventivamente
Sia $ω = - \frac{y}{x^{2}+y^{2}}dx + \frac{x}{x^{2}+y^{2}}dy$ in E:= R^2 \{(0,0)} e siano $γ^{(0)}$ e $\γ^{(1)}$
i triangoli, rispettivamente, di vertici (-3,-4), (5,6), (11,0) e (-3,-4), (5,6), (-11,0), percorsi in senso antiorario.
a) Spiegare che uno dei triangoli e omotopo in E a un punto e l'altro a una circonferenza di centro (0,0) percorsa in senso antiorario;
b) Calcolare $\int_{\γ^{(0)}}ω$ e $\int_{\γ^{(1)}}ω$
Da qui dovrebbe iniziare la mia risoluzione ma l'unica cosa che sono riuscito a verificare è che la forma differenziale $ω$ è chiusa in E e quindi posso utilizzare per il punto b) il teorema secondo il quale:
Se abbiamo un insieme E $\subseteq$ R^n aperto e connesso e se la forma differenziale $ω$ è chiusa in E allora se $γ^{(0)}$ e $\γ^{(1)}$ sono due curve omotope in E risulta che
$\int_{\γ^{(0)}}\{ω} = \int_{\γ^{(1)}}\{ω}$
Però non ho capito come dimostrare che le due curve sono omotope e per il punto a) non sò come procedere ....
Premessa: ho letto e riletto la definizione di omotopia ma non sono sicuro di averla capita bene o meglio non sono sicuro di saper utilizzare quello che ho letto.
A voi la parola!
Sia $ω = - \frac{y}{x^{2}+y^{2}}dx + \frac{x}{x^{2}+y^{2}}dy$ in E:= R^2 \{(0,0)} e siano $γ^{(0)}$ e $\γ^{(1)}$
i triangoli, rispettivamente, di vertici (-3,-4), (5,6), (11,0) e (-3,-4), (5,6), (-11,0), percorsi in senso antiorario.
a) Spiegare che uno dei triangoli e omotopo in E a un punto e l'altro a una circonferenza di centro (0,0) percorsa in senso antiorario;
b) Calcolare $\int_{\γ^{(0)}}ω$ e $\int_{\γ^{(1)}}ω$
Da qui dovrebbe iniziare la mia risoluzione ma l'unica cosa che sono riuscito a verificare è che la forma differenziale $ω$ è chiusa in E e quindi posso utilizzare per il punto b) il teorema secondo il quale:
Se abbiamo un insieme E $\subseteq$ R^n aperto e connesso e se la forma differenziale $ω$ è chiusa in E allora se $γ^{(0)}$ e $\γ^{(1)}$ sono due curve omotope in E risulta che
$\int_{\γ^{(0)}}\{ω} = \int_{\γ^{(1)}}\{ω}$
Però non ho capito come dimostrare che le due curve sono omotope e per il punto a) non sò come procedere ....
Premessa: ho letto e riletto la definizione di omotopia ma non sono sicuro di averla capita bene o meglio non sono sicuro di saper utilizzare quello che ho letto.
A voi la parola!
Risposte
... cercando tra i risultati utili ho trovato che è possibile dimostrare che :E è semplicemente connesso se e solo se ogni curva contenuta in E è omotopa a una curva costante.
Quindi qualitativamente si potrebbe dire che la curva costituita dal triangolo di vertici (-3,-4),(5,6) e (11,0) dovrebbe essere la curva omotopa ad un punto e quindi la curva costituita dal triangolo di vertici (-3,-4),(5,6) e (-11,0) dovrebbe essere omotopa alla circonferenza di centro (0,0) ..... ok ma quantitativamente come potrei dimostrarlo?
Quindi qualitativamente si potrebbe dire che la curva costituita dal triangolo di vertici (-3,-4),(5,6) e (11,0) dovrebbe essere la curva omotopa ad un punto e quindi la curva costituita dal triangolo di vertici (-3,-4),(5,6) e (-11,0) dovrebbe essere omotopa alla circonferenza di centro (0,0) ..... ok ma quantitativamente come potrei dimostrarlo?
Guarda, non ho fatto i conti, ma in questo caso direi che puoi provare con la più classica delle omotopie, che funziona sempre in insiemi convessi. In questo caso dovrai fare un po' di conti per accertarti che funziona, ma, sempre ad occhio, niente di trascendentale. L'omotopia cui mi riferisco è naturalmente
[tex]f(s,t) = (1-s)\gamma(t) + s \delta(t)[/tex]
che trasforma la curva [tex]\gamma(t)[/tex] nella curva [tex]\delta(t)[/tex]. Nel tuo caso particolare [tex]\gamma(t)[/tex] è un triangolo e [tex]\delta(t)[/tex] è rispettivamente: 1) una curva costante; 2) la circonferenza percorsa in senso antiorario.
[tex]f(s,t) = (1-s)\gamma(t) + s \delta(t)[/tex]
che trasforma la curva [tex]\gamma(t)[/tex] nella curva [tex]\delta(t)[/tex]. Nel tuo caso particolare [tex]\gamma(t)[/tex] è un triangolo e [tex]\delta(t)[/tex] è rispettivamente: 1) una curva costante; 2) la circonferenza percorsa in senso antiorario.
ti ringrazio maurer ... mi butto subito sull'esercizio e ti faccio sapere come va
maurer ho capito che l'omotopia che mi hai dato funzione ma non ho capito come applicarla per esplicitare tutto ...
Allora:
1) il triangolo di vertici [tex](-3,-4), (5,6), (-11,0)[/tex] non contiene nel suo interno il punto [tex](0,0)[/tex]. Se fissi un qualsiasi punto [tex](x,y)[/tex] nell'interno del triangolo e consideri l'applicazione [tex]\delta(t) = (x,y)[/tex], allora l'omotopia da me definita prima è accettabile perché per ogni [tex]t[/tex] fissato, l'intero segmento congiungente [tex]\gamma(t)[/tex] a [tex](x,y)[/tex] è contenuto all'interno del triangolo e quindi in [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. La continuità è ovvia e quindi ce la caviamo senza spargimenti di sangue, ossia senza sforzarci di parametrizzare il triangolo;
2) sia [tex]\gamma(t)[/tex] una qualsiasi curva chiusa semplice non passante per l'origine, contenente l'origine nel suo interno e tale che la funzione [tex]t \mapsto \frac{\gamma(t)}{\|\gamma(t)\|}[/tex] sia iniettiva. Definiamo
[tex]\displaystyle f(s,t) = \frac{\gamma(s)}{1 + (\|\gamma(s)\|-1)t}[/tex]
Siccome [tex]\gamma(t)[/tex] non passa per l'origine, la precedente funzione è sempre ben definita. La continuità è ovvia; [tex]f(s,0) = \gamma(s)[/tex]; poi [tex]f(s,1)[/tex] ha sempre norma 1. Al variare di [tex]s[/tex], [tex]f(s,1)[/tex] descrive una porzione della circonferenza unitaria. L'iniettività l'abbiamo assunta per ipotesi; la suriettività è evidente per la chiusura della curva (puoi applicare il teorema dei valori medi alla funzione continua che associa ad un punto del piano l'angolo in coordinate polari). Pertanto [tex]f(s,1)[/tex] deve descrivere la circonferenza unitaria e quindi ne è una parametrizzazione.
Il controllo che il tuo triangolo soddisfi le ipotesi di questo mio mini-lemma è immediato e lo lascio fare a te.
1) il triangolo di vertici [tex](-3,-4), (5,6), (-11,0)[/tex] non contiene nel suo interno il punto [tex](0,0)[/tex]. Se fissi un qualsiasi punto [tex](x,y)[/tex] nell'interno del triangolo e consideri l'applicazione [tex]\delta(t) = (x,y)[/tex], allora l'omotopia da me definita prima è accettabile perché per ogni [tex]t[/tex] fissato, l'intero segmento congiungente [tex]\gamma(t)[/tex] a [tex](x,y)[/tex] è contenuto all'interno del triangolo e quindi in [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. La continuità è ovvia e quindi ce la caviamo senza spargimenti di sangue, ossia senza sforzarci di parametrizzare il triangolo;
2) sia [tex]\gamma(t)[/tex] una qualsiasi curva chiusa semplice non passante per l'origine, contenente l'origine nel suo interno e tale che la funzione [tex]t \mapsto \frac{\gamma(t)}{\|\gamma(t)\|}[/tex] sia iniettiva. Definiamo
[tex]\displaystyle f(s,t) = \frac{\gamma(s)}{1 + (\|\gamma(s)\|-1)t}[/tex]
Siccome [tex]\gamma(t)[/tex] non passa per l'origine, la precedente funzione è sempre ben definita. La continuità è ovvia; [tex]f(s,0) = \gamma(s)[/tex]; poi [tex]f(s,1)[/tex] ha sempre norma 1. Al variare di [tex]s[/tex], [tex]f(s,1)[/tex] descrive una porzione della circonferenza unitaria. L'iniettività l'abbiamo assunta per ipotesi; la suriettività è evidente per la chiusura della curva (puoi applicare il teorema dei valori medi alla funzione continua che associa ad un punto del piano l'angolo in coordinate polari). Pertanto [tex]f(s,1)[/tex] deve descrivere la circonferenza unitaria e quindi ne è una parametrizzazione.
Il controllo che il tuo triangolo soddisfi le ipotesi di questo mio mini-lemma è immediato e lo lascio fare a te.
maurer ora si che non ci ho capito proprio niente ..... domani vado a ricevimento dalla mia prof e vediamo come va .... mamma mia la definizione di omotopia è una ca**a di 2 righe e poi non ho mai visto un esercizio così ingrippante ..... speriamo bene
Guarda, la definizione di omotopia è in realtà quanto di più naturale ci sia. L'idea che devi tenere a mente è che si tratta di una deformazione continua della curva. Detto questo, poi è spesso scomodo trovare la particolare omotopia che serve ai nostri scopi e bisogna arrangiarsela con quello che viene in mente...
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