Esercizio sugli insiemi

[niccoset]

Sia 2a la lunghezza dello spigolo di un cubo inscritto in una sfera di raggio unitario e $ A={b_n = sum_{i=0}^n a^i | nin NN} $ . Determinare il più piccolo intervallo $ [x,y] sub RR $ tale che $ A sub [x,y] $ .
La soluzione è $ [1,sqrt(3)/(sqrt(3)-1) ] $
Qualcuno potrebbe spiegarmi come devo partire per risolvere questo esercizio? Grazie

[gugo82]

Innanzitutto, chiediti quanto valga \(a\)... Per rispondere, basta un po' di Geometria Elementare.

Il resto dell'esercizio ti chiede di determinare \(x\leq y\in \mathbb{R}\) tali che:
\[
x\leq b_n\leq y
\]
per ogni indice \(n\) e tali che le disuguaglianze siano ottimali, ossia che le disuguaglianze non possano essere "migliorate" prendendo un valore \(X>x\) oppure un valore \(Y La disuguaglianza \(x\leq b_n\), vera per ogni indice \(n\), è "migliorabile" se si può aumentare (anche di poco) il valore della costante al primo membro senza comprometterne la validità per ogni indice; in altre parole, essa è "migliorabile" quando esiste un numero \(X>x\) tale che la disuguaglianza \(X\leq b_n\) vale per ogni indice \(n\).

Ad esempio, la disuguaglianza \(-1\leq n^2\), che vale per ogni \(n\), è "migliorabile" perché il valore \(x=-1\) al primo membro può essere sostituito dal valore \(X=-0.5\) senza compromettere la validità della disuguaglianza, perché anche \(-0.5\leq n^2\) vale per ogni indice \(n\).


Al contrario, la disuguaglianza \(0\leq n^2\), che vale per ogni indice \(n\), non può essere "migliorata", perché se si prende un qualsiasi numero \(X>0\) la disuguaglianza \(X\leq n^2\) non vale per \(n=0\)![/list:u:3u3tqnnk]

Allo stesso modo, una disuguaglianza del tipo \(b_n\leq y\), vera per ogni indice \(n\), è "migliorabile" se si può diminuire (anche di poco) il valore della costante al secondo membro senza comprometterne la validità per ogni indice; in altre parole, essa è "migliorabile" quando esiste un numero \(Y
Le disuguaglianze che non possono essere "migliorate" vengono anche dette disuguaglianze ottimali.[/nota]
Se la vogliamo mettere più sul formale (non so quanto tu conosca l'Analisi), l'esercizio ti sta chiedendo di dimostrare che l'insieme \(A\) è limitato e di determinare esplicitamente le quantità \(x=\inf A\) ed \(y=\sup A\).

Poi, nota che il generico elemento \(b_n\) del tuo insieme è la somma di una progressione geometrica di ragione \(a>0\) (la potitività discende dal fatto che \(a\) è una lunghezza non nulla). Ciò comporta che gli elementi \(b_n\) formano una successione crescente, poiché infatti:
\[
\begin{split}
b_0=1=a^0& b_1 = a^0+a^1& b_2=a^0+a^1+a^2&< a^0+a^1+a^2+a^3=b_3\\
\cdots &<\cdots\\
b_n= \sum_{i=0}^n a^i &< \sum_{i=0}^{n+1} a^i =b_{n+1}\\
\cdots &<\cdots
\end{split}
\]
e conseguentemente hai certamente \(1=b_0 Comincia da qui e poi vediamo come fare con \(y\).

[niccoset]

Innanzitutto grazie, in questo modo ho trovato $ a=1/sqrt3 $, non ho capito bene come trovare x però guardando la serie posso capire ( se non mi sbaglio ) che la serie per n tendenti all'infinito converge e $ b_n -> 0 $ per n tendenti all'infinito.
La mia x quindi è zero?