Esercizio Successioni di funzioni

[jackqueen]

Salve a tutti, mi sono imbattuto in questo esercizio e mi sono fermato su un piccolo, o forse, grande dubbio:

La successione è $ f_n(x)=e^(-n^(2)|x|) $ :

Per $x=0$ la successione di funzioni si riduce al termine costante $1$
Studio per i casi $ { ( x>0 ),( x<0 ):} $ ed ottengo $ { ( f_n(x)=e^(-n^2x) ),( f_n(x)=e^(n^2x) ):} $ .

Nel caso di $x>0$ il $ lim_(n -> oo)f_n(x)=0 $
nel caso di $x<0$ il $ lim_(n -> oo)f_n(x)=0 $

dubbio: è giusto dire che la successione di funzioni converge puntualmente a $0$ in $\R$ e la sua funzione limite è $f(x)=0$ ?
Cosa posso dire dello zero?

Cercando un' eventuale convergenza uniforme trovo che $ f_(n)^{\prime}(x)=-n^2e^(-n^2x) $ e che $ f_(n)^{\prime}(x)=0 $ solo se $n=0$.
Qual'è il massimo allora della funzione? $x$ è in tutto $\R$ ...

[theras]

Cosa t'impedisce d'accettare il fatto che la tua successione di funzioni possa tendere ad una funzione definita a tratti e discontinua in $x_0=0$ ?
Ed una volta rassegnatisi a questa triste idea,
come influisce sull'uniforme convergenza della tua ${f_n(x):RR to RR}_(n in NN)$ la mancata continuità della sua funzione limite?E perché ?
Saluti dal web.