Esercizio - Successioni di Cauchy, suriettività
Esercizio: Sia $f : I -> RR$ derivabile su $I$. Si supponga che $|f'(x)| <= 1/2$, $AA x in I$.
Dimostrare che se $f$ è suriettiva, $I$ è illimitato.
(*): Nel punto precedente dell'esercizio chiedeva di dimostrare che $f$ manda successioni di Cauchy in succ. di Cauchy.
Idea:
Supponiamo per assurdo che $I$ sia limitato.
Se $I$ fosse chiuso, allora varrebbe il teorema di Weierstrass per le funzioni continue e non potrebbe aversi $f(I) = RR$ , contro l'ipotesi.
Dunque $I$ deve essere aperto. Considero $(x_n)_n$ tale che $x_n in I$ e $lim_n x_n = bar x in bar I - I$ (poiché $I$ è un intervallo di $RR$ immagino che $bar I - I$ siano gli estremi dell'intervallo ). Quindi $(x_n)_n$ è di Cauchy.
Utilizziamo il punto precedente (*) : $lim_n f(x_n) = bar x in RR$ , perché $f(x_n)$ è di Cauchy.
Ma questo è assurdo. Infatti $f$ è limitata nei punti interni (perché è continua) ed è limitata agli estremi anche per la considerazione sulla successione $f(x_n)$. Quindi non può essere suriettiva.
Dimostrare che se $f$ è suriettiva, $I$ è illimitato.
(*): Nel punto precedente dell'esercizio chiedeva di dimostrare che $f$ manda successioni di Cauchy in succ. di Cauchy.
Idea:
Supponiamo per assurdo che $I$ sia limitato.
Se $I$ fosse chiuso, allora varrebbe il teorema di Weierstrass per le funzioni continue e non potrebbe aversi $f(I) = RR$ , contro l'ipotesi.
Dunque $I$ deve essere aperto. Considero $(x_n)_n$ tale che $x_n in I$ e $lim_n x_n = bar x in bar I - I$ (poiché $I$ è un intervallo di $RR$ immagino che $bar I - I$ siano gli estremi dell'intervallo ). Quindi $(x_n)_n$ è di Cauchy.
Utilizziamo il punto precedente (*) : $lim_n f(x_n) = bar x in RR$ , perché $f(x_n)$ è di Cauchy.
Ma questo è assurdo. Infatti $f$ è limitata nei punti interni (perché è continua) ed è limitata agli estremi anche per la considerazione sulla successione $f(x_n)$. Quindi non può essere suriettiva.
Risposte
Sarebbe meglio osservare che, siccome esiste il limite agli estremi, allora la funzione può essere prolungata per continuità ad una funzione definita in [tex]\overline{I} = [a,b][/tex]. Ora, la funzione è limitata in [tex][a, a + \epsilon) \cup (b - \epsilon, b][/tex] per il teorema di limitatezza locale; d'altronde è limitata in [tex][a+ \epsilon, b - \epsilon][/tex] per Weierstrass. Quindi non è suriettiva.
Comunque, direi che va bene.
Comunque, direi che va bene.
"maurer":
Sarebbe meglio osservare che, siccome esiste il limite agli estremi, allora la funzione può essere prolungata per continuità ad una funzione definita in [tex]\overline{I} = [a,b][/tex]. Ora, la funzione è limitata in [tex][a, a + \epsilon) \cup (b - \epsilon, b][/tex] per il teorema di limitatezza locale; d'altronde è limitata in [tex][a+ \epsilon, b - \epsilon][/tex] per Weierstrass. Quindi non è suriettiva.
Comunque, direi che va bene.
Grazie infinite, mi è chiaro.
In alternativa:
$f$ è una funzione Lipschitziana con costante di Lipschitz $L \le 1/2$.
Di conseguenza, se $I$ è un intervallo limitato, $m(f(I)) \le L \cdot m(I)$, dove $m$ indica la lunghezza (misura) dell'intervallo in questione.
$f$ è una funzione Lipschitziana con costante di Lipschitz $L \le 1/2$.
Di conseguenza, se $I$ è un intervallo limitato, $m(f(I)) \le L \cdot m(I)$, dove $m$ indica la lunghezza (misura) dell'intervallo in questione.
"Rigel":
$f$ è una funzione Lipschitziana con costante di Lipschitz $L \le 1/2$.
A lezione non sono state trattate le funzioni Lipschitziane, ma grazie. Però avevo idea che potesse rientrare nell'esercizio una cosa del genere. Ti ringrazio, come al solito.
Allora facciamolo con un trucco banale.
Sia $[a,b]\subset I$; $f$ ammette in $[a,b]$ minimo assoluto $x$ e massimo assoluto $y$, per cui
[tex]f( [a,b] ) = [f(x), f(y)][/tex], e dunque, per il teorema di Lagrange,
[tex]m(f([a,b])) = |f(y) - f(x)| = |f'(\xi)|\cdot |y-x| \le L (b-a) = L \cdot m( [a,b] )[/tex].
Se $I$ è limitato, otteniamo in particolare che
[tex]m(f( [a,b] )) \le L \cdot m(I)[/tex] per ogni $[a,b]\subseteq I$.
Ciò, per la continuità di $f$, è in contrasto col fatto che $f(I) = \mathbb{R}$.
Naturalmente tutto questo è a puro scopo didattico, visto che la dimostrazione proposta da maurer è sicuramente più breve.
Sia $[a,b]\subset I$; $f$ ammette in $[a,b]$ minimo assoluto $x$ e massimo assoluto $y$, per cui
[tex]f( [a,b] ) = [f(x), f(y)][/tex], e dunque, per il teorema di Lagrange,
[tex]m(f([a,b])) = |f(y) - f(x)| = |f'(\xi)|\cdot |y-x| \le L (b-a) = L \cdot m( [a,b] )[/tex].
Se $I$ è limitato, otteniamo in particolare che
[tex]m(f( [a,b] )) \le L \cdot m(I)[/tex] per ogni $[a,b]\subseteq I$.
Ciò, per la continuità di $f$, è in contrasto col fatto che $f(I) = \mathbb{R}$.
Naturalmente tutto questo è a puro scopo didattico, visto che la dimostrazione proposta da maurer è sicuramente più breve.
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