Esercizio successione per ricorrenza non autonoma

nick_10
Buonasera! Mi sono imbattuto in un esercizio sulle successioni per ricorrenza non autonome che mi ha creato alcuni dubbi. Posto qui di seguito il testo dell'esercizio con la mia idea di svolgimento.
"Consideriamo la successione definita per ricorrenza da:
$x_(n+1)$=$(x_n+n)/(n^2+1)$ $x_1>0$
Determinare il limite della successione $x_n$ e della successione $nx_n$"

Per la prima parte ho dimostrato per induzione che la successione è maggiore uguale a zero per ogni n e che risulta decrescente. Dal teorema delle successioni monotone (limitata inferiormente, in questo caso) segue che il limite della successione esiste reale. Per il calcolo posso passare al limite nella ricorrenza??

Per la seconda successione se dimostro che è maggiore di zero per ogni n posso applicare il criterio del rapporto per successioni? E' una buona strada??
Grazie in anticipo!!! :D

Risposte
gugo82
"nick_10":
Buonasera! Mi sono imbattuto in un esercizio sulle successioni per ricorrenza non autonome che mi ha creato alcuni dubbi. Posto qui di seguito il testo dell'esercizio con la mia idea di svolgimento.
"Consideriamo la successione definita per ricorrenza da:
$\{(x_(n+1)=(x_n + n)/(n^2+1)),(x_1>0):}$
Determinare il limite della successione $x_n$ e della successione $nx_n$"

Per la prima parte ho dimostrato per induzione che la successione è maggiore uguale a zero per ogni n e che risulta decrescente. Dal teorema delle successioni monotone (limitata inferiormente, in questo caso) segue che il limite della successione esiste reale. Per il calcolo posso passare al limite nella ricorrenza??

Certo che sì.
Se sai che il limite esiste, devi calcolarlo proprio così. :wink:

"nick_10":
Per la seconda successione se dimostro che è maggiore di zero per ogni n posso applicare il criterio del rapporto per successioni? E' una buona strada??

A potere, puoi... Che sia una buona strada non sò dirlo a priori.
Prova a vedere cosa ne viene fuori. :wink:

nick_10
Ok grazie!
Allora passando alla ricorrenza il limite dovrebbe risultare 0; questo perché raccogliendo $n$ e $n^2$ il fattore ottenuto dopo il raccoglimento al numeratore $(x_n)/n$ tende a zero perché grazie ai ragionamenti precedenti $x_n$ tende a un limite l reale (ho cosi escluso il problema della forma indeterminata).

nick_10
Per la seconda successione applicando il criterio del rapporto dovrebbe risultare:
$(n+1)/(n)x_(n+1)/(x_n)$- Il primo pezzo tende a 1; il secondo invece inserendo la legge della ricorrenza e raccogliendo al numeratore n e al denominatore n^2 dovrebbe risultare 1 il limite. Ma ho dei dubbi riguardo lo svolgimento. Non vorrei ci fossero dei limiti fatti "un pezzo alla volta"

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