Esercizio successione di funzioni definite a tratti
Ciao a tutti, tra gli esercizi proposti dalla professoressa c'è questo in cui si richiede di studiare convergenza puntuale e uniforme della successione di funzioni
$ f_n(x)={ (x^2/n -1 se x in [-n,n]),( 0 al trove ):} $
Graficamente queste sono rami di parabole, che si allargano al crescere di n, "affiancate" da rette.
Già per quel che riguarda la convergenza puntuale non so se scegliere il primo ramo o il secondo. Ho pensato di scegliere il primo perchè è l'unico che dipenda da n. Per cui
$ lim_(n) f_n(x)=-1 $ e la convergenza è puntuale.
Ora calcolo $ s up_(x in RR) |f_n(x)-f(x)|= s up_(x in RR) |x^2/n-1+1|=s up_(x in RR_+)x^2/n=+oo $
Quindi non c'è convergenza uniforme in tutto $ RR $ e mi restringo a intorni del tipo $ [-a,a] , a>0 $ (ma non so giustificare con quale criterio scelgo $ a $ , forse dovrei scrivere $ [-a,a]sub [-n,n] $ ?) e in questo modo essendo $ x^2/n $ crescente in $ [0,a] $ ho che $ s up_(x in [-a,a]) x^2/n=s up_(x in [0,a]) x^2/n=a^2/n rarr 0 $ quando $ nrarr oo $
Giusto così? O ho sbagliato gli intorni in partenza?
$ f_n(x)={ (x^2/n -1 se x in [-n,n]),( 0 al trove ):} $
Graficamente queste sono rami di parabole, che si allargano al crescere di n, "affiancate" da rette.
Già per quel che riguarda la convergenza puntuale non so se scegliere il primo ramo o il secondo. Ho pensato di scegliere il primo perchè è l'unico che dipenda da n. Per cui
$ lim_(n) f_n(x)=-1 $ e la convergenza è puntuale.
Ora calcolo $ s up_(x in RR) |f_n(x)-f(x)|= s up_(x in RR) |x^2/n-1+1|=s up_(x in RR_+)x^2/n=+oo $
Quindi non c'è convergenza uniforme in tutto $ RR $ e mi restringo a intorni del tipo $ [-a,a] , a>0 $ (ma non so giustificare con quale criterio scelgo $ a $ , forse dovrei scrivere $ [-a,a]sub [-n,n] $ ?) e in questo modo essendo $ x^2/n $ crescente in $ [0,a] $ ho che $ s up_(x in [-a,a]) x^2/n=s up_(x in [0,a]) x^2/n=a^2/n rarr 0 $ quando $ nrarr oo $
Giusto così? O ho sbagliato gli intorni in partenza?
Risposte
Le giustificazioni che dai non sono molto convincenti 
Partiamo dalla convergenza puntuale. Dato un punto $x\in\mathbb{R}$ arbitrario, esiste $n_0\in\mathbb{N}$ tale che $x\in [-n,n]$ per ogni $n\geq n_0$. Quindi possiamo dire che da $n_0$ in poi $f_n(x)=x^2/n-1$ e facendo tendere $n$ ad $+\infty$ otteniamo $f_n(x)\to -1$. Per l'arbitrarietà di $x$ segue che $f_n\to f$ puntualmente con $f(x)=-1$ per ogni $x\in\mathbb{R}$.
Riguardo alla convergenza uniforme hai sbagliato una cosa: non è vero che $|f_n(x)-f(x)|=|x^2/n-1+1|$, infatti $f_n(x)$ non è sempre $x^2/n-1$, poiché al di fuori dell'intervallo $[-n,n]$ vale $0$.
Puoi però ragionare così: definita la successione $x_n=n$ (notare che $x_n\in [-n,n]$ per ogni $n\in\mathbb{N}$), si ha che
\[
\sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)-f(x)|\geq \sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x_n)-f(x_n)|=|f_n(x_n)-f(x_n)|=\bigg|\frac{x_n^2}{n}-1+1\bigg|
=\bigg|\frac{n^2}{n}\bigg|=n\to +\infty.
\]
per $n\to +\infty$. Dunque
\[
\sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)-f(x)|=+\infty
\]
e di conseguenza non c'è convergenza uniforme.
Partiamo dalla convergenza puntuale. Dato un punto $x\in\mathbb{R}$ arbitrario, esiste $n_0\in\mathbb{N}$ tale che $x\in [-n,n]$ per ogni $n\geq n_0$. Quindi possiamo dire che da $n_0$ in poi $f_n(x)=x^2/n-1$ e facendo tendere $n$ ad $+\infty$ otteniamo $f_n(x)\to -1$. Per l'arbitrarietà di $x$ segue che $f_n\to f$ puntualmente con $f(x)=-1$ per ogni $x\in\mathbb{R}$.
Riguardo alla convergenza uniforme hai sbagliato una cosa: non è vero che $|f_n(x)-f(x)|=|x^2/n-1+1|$, infatti $f_n(x)$ non è sempre $x^2/n-1$, poiché al di fuori dell'intervallo $[-n,n]$ vale $0$.
Puoi però ragionare così: definita la successione $x_n=n$ (notare che $x_n\in [-n,n]$ per ogni $n\in\mathbb{N}$), si ha che
\[
\sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)-f(x)|\geq \sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x_n)-f(x_n)|=|f_n(x_n)-f(x_n)|=\bigg|\frac{x_n^2}{n}-1+1\bigg|
=\bigg|\frac{n^2}{n}\bigg|=n\to +\infty.
\]
per $n\to +\infty$. Dunque
\[
\sup_{x\in\mathbb{R}}|f_n(x)-f(x)|=+\infty
\]
e di conseguenza non c'è convergenza uniforme.
Non ho capito il ragionamento che segui per la convergenza uniforme. Se considerassi di studiare la convergenza uniforme all'interno di $ [-n,n] $ , dove ho individuato l'indice $ n_0 $ , non dovrei "per forza" considerare $ f_n(x)=x^2/n-1 $ ? E poi perchè devo considerare la successione $ x_n=n $ ? Non posso semplicemente considerare come prima che esista un indice $ n_0 in NN $ tale che $ AA n>n_0 $ risulti $ x in [-n,n] $ ? 
Sono ai primi esercizi di questo tipo e forse mi sfugge qualcosa 
Sono ai primi esercizi di questo tipo e forse mi sfugge qualcosa
@Sara: un suggerimento al volo: prima di tutto ti devi fare un disegno, disegnati due o tre termini della successione, fatti un'idea di ciò che sta succedendo. Si vede che stai andando a tentoni, al buio.
"SaraB91":
Non posso semplicemente considerare come prima che esista un indice $ n_0 in NN $ tale che $ AA n>n_0 $ risulti $ x in [-n,n] $ ?
No, perché la convergenza non riguarda il punto $x$ (come invece avviene con la convergenza puntuale)... si chiama convergenza uniforme proprio perché si considera l'estremo superiore al variare di $x$ in tutto $\mathbb{R}$.
"dissonance":
@Sara: un suggerimento al volo: prima di tutto ti devi fare un disegno, disegnati due o tre termini della successione, fatti un'idea di ciò che sta succedendo. Si vede che stai andando a tentoni, al buio.
Disegnare i primi termini della successione è la prima cosa che faccio in realtà
Proprio vedendo come si comportano le funzioni al crescere di n sono sorti i primi dubbi
"billyballo2123":
No, perché la convergenza non riguarda il punto $x$ (come invece avviene con la convergenza puntuale)... si chiama convergenza uniforme proprio perché si considera l'estremo superiore al variare di $x$ in tutto $\mathbb{R}$.
Giusto, grazie!
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