Esercizio successione di funzioni (convergenza uniforme)
Sera a tutti,
stavo cercando di studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di f
$fn(x) = (4x) / (n(1+x^2-n^2)^3)$
stavo procedendo in questo modo:
prima ho calcolato il limite : $lim n->+oo (fn(x) )= 0 $
ho considerato |fn(x)-f(x)| e ne ho cercato il sup calcolando dove si annullava la derivata prima rispetto ad x
e mi sono trovato che si annullava in $ x = ((1-n^2)/(5))^(1/2) $
solo che ora dovendo andare a sostituire il valore trovato nel valore assoluto e poi facendone il limite per controllare la convergenza uniforme la funzione non risulta avere esistenza in quanto essendo una radice la x che ho trovato portandola --> +oo perde di valore...
sto sbagliando qualcosa nel procedimento??
come bisogna eseguire questa successione??
grazie a tutti anticipatamente
stavo cercando di studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di f
$fn(x) = (4x) / (n(1+x^2-n^2)^3)$
stavo procedendo in questo modo:
prima ho calcolato il limite : $lim n->+oo (fn(x) )= 0 $
ho considerato |fn(x)-f(x)| e ne ho cercato il sup calcolando dove si annullava la derivata prima rispetto ad x
e mi sono trovato che si annullava in $ x = ((1-n^2)/(5))^(1/2) $
solo che ora dovendo andare a sostituire il valore trovato nel valore assoluto e poi facendone il limite per controllare la convergenza uniforme la funzione non risulta avere esistenza in quanto essendo una radice la x che ho trovato portandola --> +oo perde di valore...
sto sbagliando qualcosa nel procedimento??
come bisogna eseguire questa successione??
grazie a tutti anticipatamente
Risposte
Salve,
il tuo risultato mi pare strano perché per $n\ge 2$ prendi la radice di qualcosa di negativo (pero il procedimento è giusto). Puoi mostrarci i calcoli ?
il tuo risultato mi pare strano perché per $n\ge 2$ prendi la radice di qualcosa di negativo (pero il procedimento è giusto). Puoi mostrarci i calcoli ?
ora posto i calcoli:
$lim (n->+oo) ((4x)/(n(1+x^2-n^2)^3)) = f(x)=0$
considere $|fn(x)-f(x)|$ ---> $ |(4x)/(n(1+x^2-n^2)^3)| $
vado a derivare il valore assoluto --> $(4[n(1+x^2-n^2)^3]-24nx^2(1+x^2-n^2)^2)/[n(1+x^2-n^2)^3]^2$ ---> ${4n(1+x^2-n^2)^2[(1+x^2-n^2)-6x^2]}/[n(1+x^2-n^2)^3]^2$
andando a semplificare ed uguagliando a 0 ${4[(1+x^2-n^2)-6x^2]}/([n(1+x^2-n^2)^3])=0$
--->$x= +-[(1-n^2)/(5)]^(1/2)$
anche a me sembrava strano visto che andando a sostituire nella funzione, al numeratore per n-->oo perde di significato...questo esercizio ci è stato assegnato dalla prof dicendo che andava ristretto il campo in cui operavamo...solo che non capisco in che modo visto che dobbiamo fare un lim per n-->oo...(spero di non aver fatto errori di copia..)
$lim (n->+oo) ((4x)/(n(1+x^2-n^2)^3)) = f(x)=0$
considere $|fn(x)-f(x)|$ ---> $ |(4x)/(n(1+x^2-n^2)^3)| $
vado a derivare il valore assoluto --> $(4[n(1+x^2-n^2)^3]-24nx^2(1+x^2-n^2)^2)/[n(1+x^2-n^2)^3]^2$ ---> ${4n(1+x^2-n^2)^2[(1+x^2-n^2)-6x^2]}/[n(1+x^2-n^2)^3]^2$
andando a semplificare ed uguagliando a 0 ${4[(1+x^2-n^2)-6x^2]}/([n(1+x^2-n^2)^3])=0$
--->$x= +-[(1-n^2)/(5)]^(1/2)$
anche a me sembrava strano visto che andando a sostituire nella funzione, al numeratore per n-->oo perde di significato...questo esercizio ci è stato assegnato dalla prof dicendo che andava ristretto il campo in cui operavamo...solo che non capisco in che modo visto che dobbiamo fare un lim per n-->oo...(spero di non aver fatto errori di copia..)
L'disequazione $(-5x^2) +(-n^2+1)<0$ è sempre vera per $n>=2$ perché entrambi gli addendi sono negativi.
Comunque, non ho capito in che modo hai semplificato l'esponente al denominatore della derivata all'ultimo passaggio.
Tieni anche conto che il campo di esistenza delle $f_n(x)$ è $x!=\pm \sqrt(n^2-1)$.
Comunque, non ho capito in che modo hai semplificato l'esponente al denominatore della derivata all'ultimo passaggio.
Tieni anche conto che il campo di esistenza delle $f_n(x)$ è $x!=\pm \sqrt(n^2-1)$.
prima ho sbagliato a copiare l'ultimo passaggio...ora lo posto in modo corretto anche se il risultato continua a rimanere quello
${4n(1+x^2-n^2)^2[1-5x^2-n^2]}/{[n(1+x^2-n^2)^3]^2}$ ---> ${4[(1-5x^2-n^2)]}/[(1+x^2-n^2)[n(1+x^2-n^2)]]$
come bisogna concludere??
${4n(1+x^2-n^2)^2[1-5x^2-n^2]}/{[n(1+x^2-n^2)^3]^2}$ ---> ${4[(1-5x^2-n^2)]}/[(1+x^2-n^2)[n(1+x^2-n^2)]]$
come bisogna concludere??
La derivata [tex]$f'_n(x)$[/tex] è sempre negativa, quindi la funzione [tex]$f_n(x)$[/tex] è sempre decrescente.
Inoltre, per [tex]$n \geq 2$[/tex], valgono i seguenti limiti: [tex]$\lim_{x \to -\sqrt{n^2-1}^{\pm}} f_n(x) = \pm \infty$[/tex] e [tex]$\lim_{x \to \sqrt{n^2-1}^{\pm}} f_n(x) = \pm \infty$[/tex]. Altrove la funzione è continua.
Sia ora [tex]$I$[/tex] un intervallo di estremi [tex]$a,b$[/tex].
Nota che [tex]$\lim_{n \to + \infty} + \sqrt{n^2-1}= + \infty$[/tex], [tex]$\lim_{n \to + \infty} -\sqrt{n^2-1} = - \infty$[/tex] e, quindi per [tex]$n$[/tex] sufficientemente grande puoi fare in mondo che [tex]$I \subseteq (- \sqrt{n^2-1}, +\sqrt{n^2-1})$[/tex], e in questo modo la funzione è limitata in [tex]$I$[/tex].
Quindi [tex]$ \text{sup}_{x \in I}|f_n(x)|= \text{max} \{ |f_n(a)|, |f_n(b)| \} \to 0$[/tex]
Inoltre, per [tex]$n \geq 2$[/tex], valgono i seguenti limiti: [tex]$\lim_{x \to -\sqrt{n^2-1}^{\pm}} f_n(x) = \pm \infty$[/tex] e [tex]$\lim_{x \to \sqrt{n^2-1}^{\pm}} f_n(x) = \pm \infty$[/tex]. Altrove la funzione è continua.
Sia ora [tex]$I$[/tex] un intervallo di estremi [tex]$a,b$[/tex].
Nota che [tex]$\lim_{n \to + \infty} + \sqrt{n^2-1}= + \infty$[/tex], [tex]$\lim_{n \to + \infty} -\sqrt{n^2-1} = - \infty$[/tex] e, quindi per [tex]$n$[/tex] sufficientemente grande puoi fare in mondo che [tex]$I \subseteq (- \sqrt{n^2-1}, +\sqrt{n^2-1})$[/tex], e in questo modo la funzione è limitata in [tex]$I$[/tex].
Quindi [tex]$ \text{sup}_{x \in I}|f_n(x)|= \text{max} \{ |f_n(a)|, |f_n(b)| \} \to 0$[/tex]
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