Esercizio successione di funzioni
Ciao 
volevo porvi il seguente esercizio di un esame passato non corretto e vedere se qualcuno può dirmi se ho ragionato bene
sia la successione di funzioni $f_n(x)= {2nx+cos((n^2)(x^2))}/{n^2+3}$
Ora per la convergenza puntuale ho fatto $lim_{n \to \+infty}{2nx+cos((n^2)(x^2))}/{n^2+3}=0$ quindi converge puntualmente in $f(x)=0$
per la convergenza uniforme per la complessità della successione ho ragionato così:
devo dimostrare che esiste una successione $x_n$ tale che $|f_n(x_n) - f(x_n)| ->0$ per ogni successione convergente $x_n$
allora ci sarà convergenza uniforme poiche $|f_n(x)-f(x)|>=|f_n(x_n) - f(x_n)| ->0$ quindi il $lim_{n \to \+infty}{2nx_n+cos((n^2)(x_{n}^2))}/{n^2+3}=0$ per ogni successione convergente $x_n$
ho ragionato bene???
volevo porvi il seguente esercizio di un esame passato non corretto e vedere se qualcuno può dirmi se ho ragionato benesia la successione di funzioni $f_n(x)= {2nx+cos((n^2)(x^2))}/{n^2+3}$
Ora per la convergenza puntuale ho fatto $lim_{n \to \+infty}{2nx+cos((n^2)(x^2))}/{n^2+3}=0$ quindi converge puntualmente in $f(x)=0$
per la convergenza uniforme per la complessità della successione ho ragionato così:
devo dimostrare che esiste una successione $x_n$ tale che $|f_n(x_n) - f(x_n)| ->0$ per ogni successione convergente $x_n$
allora ci sarà convergenza uniforme poiche $|f_n(x)-f(x)|>=|f_n(x_n) - f(x_n)| ->0$ quindi il $lim_{n \to \+infty}{2nx_n+cos((n^2)(x_{n}^2))}/{n^2+3}=0$ per ogni successione convergente $x_n$
ho ragionato bene???
Risposte
"bjunior":
devo dimostrare che esiste una successione $x_n$ tale che $|f_n(x_n) - f(x_n)| ->0$ per ogni successione convergente $x_n$
The hell is that?? XDXD
A parte che non hai specificato l'intervallo in cui varia \(x\) [per ora prendo che sia \(\mathbb R\)], ti consiglio di verificare piuttosto se è
\[
\lim_n \sup_x |f_n(x)| = 0.
\]
Da qui dovresti arrivare a qualcosa.
si ho scritto una cretinata spero di non scriverne un'altra xD:
l'intervallo è $[0 ,\infty)$;
ho ragionato così: \[ \lim_n \sup_x |f_n(x)| <= \lim_n \sup_x (2nx+1)/(n^2+3)\] ossia una retta quindi l'estremo superiore, poiche l'intervallo è $[0 ,\infty)$ , è $\infty$ quindi la successione non è convergente uniformemente giusto??
l'intervallo è $[0 ,\infty)$;
ho ragionato così: \[ \lim_n \sup_x |f_n(x)| <= \lim_n \sup_x (2nx+1)/(n^2+3)\] ossia una retta quindi l'estremo superiore, poiche l'intervallo è $[0 ,\infty)$ , è $\infty$ quindi la successione non è convergente uniformemente giusto??
In realtà, così non va bene perché hai fatto vedere che la tua funzione rimane sotto una cosa che diverge...
Per concludere, devi fare vedere che sta sotto una cosa che converge oppure sopra una cosa che diverge!
Per concludere, devi fare vedere che sta sotto una cosa che converge oppure sopra una cosa che diverge!
Prova a prendere \(x_n=\sqrt{\pi}\ n\) ed a calcolare esplicitamente \(|f_n(x_n)|\).
Cosa puoi concludere sulla quantità \(\sup_{x\in [0,\infty[} |f_n(x)|\) (tenendo presente che \(\sup_{x\in [0,\infty[} |f_n(x)|\geq |f_n(x_n)|\))?
Cosa puoi concludere sulla quantità \(\sup_{x\in [0,\infty[} |f_n(x)|\) (tenendo presente che \(\sup_{x\in [0,\infty[} |f_n(x)|\geq |f_n(x_n)|\))?
se scelgo la successione $x_n=\sqrt{\pi}\ n$ $lim_{n \to \+infty}{2nx_n+cos((n^2)(x_{n}^2))}/{n^2+3}=2\sqrt{\pi}$ quindi la successione è non convergente uniformemente in $[0 ,\infty)$ giusto??
Esattamundo.
Infatti si ha:
\[
\sup_{[0,\infty[} |f_n|\geq |f_n(x_n)| = \frac{2\sqrt{\pi}\ n^2 + (-1)^n}{n^2+3}
\]
e perciò:
\[
\liminf_n \sup_{[0,\infty[} |f_n| \geq \lim_n \frac{2\sqrt{\pi}\ n^2 + (-1)^n}{n^2+3} = 2\sqrt{\pi}
\]
sicché non può esserci convergenza uniforme.
Infatti si ha:
\[
\sup_{[0,\infty[} |f_n|\geq |f_n(x_n)| = \frac{2\sqrt{\pi}\ n^2 + (-1)^n}{n^2+3}
\]
e perciò:
\[
\liminf_n \sup_{[0,\infty[} |f_n| \geq \lim_n \frac{2\sqrt{\pi}\ n^2 + (-1)^n}{n^2+3} = 2\sqrt{\pi}
\]
sicché non può esserci convergenza uniforme.
Grazie Gugo ho da farti altre due domande:
1. se calcolo \[\sup_{[0,\infty[} |f_n|\]\ con il teorema dei carabinieri ossia : \[\lim_n \sup_x (2nx-1)/(n^2+3)<=\lim_n\sup_{[0,\infty[} |f_n|<=\lim_n \sup_x (2nx+1)/(n^2+3)\]\ quindi avrei trovato che i due sup vanno ad infinito e quindi anche \[\sup_{[0,\infty[} |f_n|\]\va ad infinito faccio bene??
2. l'esercizio mi dice anche di calcolare la successione per $[0, M]$ che dovrebbe convergere perchè il \[\lim_n\sup_{[0,M[} |f_n|=0\]\ se lo faccio con il metodo precedente della successione $x_n$ dà sempre che non converge uniformemente...come mai??
ho da farti altre due domande:1. se calcolo \[\sup_{[0,\infty[} |f_n|\]\ con il teorema dei carabinieri ossia : \[\lim_n \sup_x (2nx-1)/(n^2+3)<=\lim_n\sup_{[0,\infty[} |f_n|<=\lim_n \sup_x (2nx+1)/(n^2+3)\]\ quindi avrei trovato che i due sup vanno ad infinito e quindi anche \[\sup_{[0,\infty[} |f_n|\]\va ad infinito faccio bene??
2. l'esercizio mi dice anche di calcolare la successione per $[0, M]$ che dovrebbe convergere perchè il \[\lim_n\sup_{[0,M[} |f_n|=0\]\ se lo faccio con il metodo precedente della successione $x_n$ dà sempre che non converge uniformemente...come mai??
Gugo ci sei??
[xdom="Raptorista"]Niente up entro 24 ore: ti becchi un cartellino giallo! 
[/xdom]
[/xdom]
up
"bjunior":
1. se calcolo \[\sup_{[0,\infty[} |f_n|\]\ con il teorema dei carabinieri ossia : \[\lim_n \sup_x (2nx-1)/(n^2+3)<=\lim_n\sup_{[0,\infty[} |f_n|<=\lim_n \sup_x (2nx+1)/(n^2+3)\]\ quindi avrei trovato che i due sup vanno ad infinito e quindi anche \[\sup_{[0,\infty[} |f_n|\]\va ad infinito faccio bene??
Sì.
Però ti basta la disuguaglianza con cui minori, in realtà.
"bjunior":
2. l'esercizio mi dice anche di calcolare la successione per $[0, M]$ che dovrebbe convergere perchè il \[\lim_n\sup_{[0,M[} |f_n|=0\]\ se lo faccio con il metodo precedente della successione $x_n$ dà sempre che non converge uniformemente...come mai??
Che vuol dire "calcolare la successione"?
Se vuol dire studiare la convergenza, c'è un modo standard per farlo sui compatti, dato che le tue funzioni sono regolarissime.
Grazie gugo si mi sono sbagliato volevo dire convergenza...quindi il metodo della successione vale solo per intervalli aperti??
si mi sono sbagliato volevo dire convergenza...quindi il metodo della successione vale solo per intervalli aperti??
Ovviamente no... E comunque non è un "metodo".
Quella è un'intuizione formalizzata che serve alla risoluzione di un problema.
Non c'è un "metodo" per ogni cosa; la Matematica, come ogni cosa umana, non è così semplice.
Quella è un'intuizione formalizzata che serve alla risoluzione di un problema.
Non c'è un "metodo" per ogni cosa; la Matematica, come ogni cosa umana, non è così semplice.
ok grazie per le risposte gentilissimo
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