Esercizio successione di funzioni
Salve. Ho difficoltà nel calcolare la convergenza di questa successione di funzioni:
$ f_n (x,y) = \frac {n^6}{(n^6)(y^2 + 3x)^2 + n^5} $
Pongo $ t = (y^2 + 3x)^2 $ ed ottengo:
$ f_n (t) = \frac {n^6}{(n^6)t + n^5} $
Fisso t in R e faccio $ lim_{n \to +\infty} \frac {n^6}{(n^6)t + n^5} $ che:
1) Diverge per t = 0
2) Converge ad 1 per t = 1
3) Converge ad 1/t per t > 1
Non posso avere convergenza uniforme in tutto R poiché tale limite puntuale è discontinuo. Devo trovare un sottoinsieme di convergenza uniforme. La convergenza è sicuramente uniforme in intervalli del tipo $ I = [\alpha, +\infty) $ con
$ \alpha > 1 $ no?
Però non mi esce, perché:
Fisso n e cerco l'estremo superiore di (come si fa in latex? xD) $ \| \frac {n^6}{(n^6)t + n^5} - 1 \| = \frac {n^6 - n^6t - n^5}{n^6t + n^5} $
L'estremo superiore dovrebbe essere: $ \frac {n^6 - n^6\alpha - n^5}{n^6\alpha + n^5} $ il cui limite però non esce 0 e dunque non risulta convergenza uniforme nell'intervallo che ho considerato
Cosa sbaglio?
$ f_n (x,y) = \frac {n^6}{(n^6)(y^2 + 3x)^2 + n^5} $
Pongo $ t = (y^2 + 3x)^2 $ ed ottengo:
$ f_n (t) = \frac {n^6}{(n^6)t + n^5} $
Fisso t in R e faccio $ lim_{n \to +\infty} \frac {n^6}{(n^6)t + n^5} $ che:
1) Diverge per t = 0
2) Converge ad 1 per t = 1
3) Converge ad 1/t per t > 1
Non posso avere convergenza uniforme in tutto R poiché tale limite puntuale è discontinuo. Devo trovare un sottoinsieme di convergenza uniforme. La convergenza è sicuramente uniforme in intervalli del tipo $ I = [\alpha, +\infty) $ con
$ \alpha > 1 $ no?
Però non mi esce, perché:
Fisso n e cerco l'estremo superiore di (come si fa in latex? xD) $ \| \frac {n^6}{(n^6)t + n^5} - 1 \| = \frac {n^6 - n^6t - n^5}{n^6t + n^5} $
L'estremo superiore dovrebbe essere: $ \frac {n^6 - n^6\alpha - n^5}{n^6\alpha + n^5} $ il cui limite però non esce 0 e dunque non risulta convergenza uniforme nell'intervallo che ho considerato
Cosa sbaglio?
Risposte
Ma nel mio caso non ho $ [-1,1] $, ma $ (1,+\infty) $, non cambia nulla?
Non conosci qualche utile schema che riporta queste maggiorazioni? Perché a quanto pare ho difficoltà a vederle da solo.
Se comunque la funzione che ho è maggiorata da $ \frac {1}{n} $ allora c'è convergenza uniforme perché il limite è 0.
Almeno posso sapere se i miei ragionamenti erano corretti? Cioè se il sup era veramente 0?
Non conosci qualche utile schema che riporta queste maggiorazioni? Perché a quanto pare ho difficoltà a vederle da solo.
Se comunque la funzione che ho è maggiorata da $ \frac {1}{n} $ allora c'è convergenza uniforme perché il limite è 0.
Almeno posso sapere se i miei ragionamenti erano corretti? Cioè se il sup era veramente 0?
"Drake_89":
Ok, ho difficoltà con un altro esercizio guarda un poIo lo posto, ma non voglio approfittare della vostra gentilezza quindi se nessuno risponde pazienza
$ f_n(x) = \frac {(1-(x-1)^(1/3))^n}{n} $
x appartiene ad R.
- Convergenza puntuale
Ad x fissato si ha convergenza puntuale a $ f(x) = 0 $ se $ 1 - (x-1)^(1/3) < 1 $, cioè se $ x > 1 $.
Quindi l'insieme di convergenza puntuale è $ (1, +\infty) $.
- Convergenza uniforme
Fisso n e faccio $ "sup"_(x>1) \| \frac {(1-(x-1)^(1/3))^n}{n} \| $
Ok. Questa volta mi sembra di capire che la via calcolosa sia l'unica possibile, giusto $ xrarr oo $
In realtà si vede che è una successione decrescente. La derivata prima infatti è negativa.
L'estremo superiore potrebbe essere il primo termine della successione? Quindi potrei fare il
$ lim_{x \to -\infty} \frac {(1-(x-1)^(1/3))^n}{n} $ ma non sono nemmeno lontanamente sicuro xD
Che poi, se $ x > 1 $, il valore massimo che assume la funzione si ha per $ x = 2 $, che è 0 ._.
Possibile che il sup sia 0 e che l'esercizio finisca così?
Allora Drake, vediamo se ci acchiappo. Parto dal sup che tu hai scritto, per $ x> 1 $. La derivata rispetto a x è negativa, mi torna, ma si vede pure a occhio, quindi l'espressione è decrescente in x (che c'entra la successione? devi guardare rispetto a x). Il sup per x $ x> 1 $ si ha quindi per x=1 (attenzione! è sup non max, quindi posso scrivere x=1!). Per x=1 l'espressione (il sup) diventa $ (1/n)^n $ , che tende a 0 per $ xrarr oo $. O no?
volevo dire per n che tende a infinito
Si si, è chiarissimo Grazie
Grazie
Grazie a te!
@Drake.
La scelta di $t$ in luogo della $x$ non era casuale,nel post precedente:
in effetti può essere che il sistema $-1 le t=1-(x-1)^(1/3) le 1$
(insisto col dire che gli estremi sono presi,nell'intervallo di convergenza puntuale della tua successione di funzioni,e poi parliamo di quella uniforme..)
abbia soluzione $x >1$,
benché ad occhio e croce a me pare sia $1 le x le 9$
,
ma non conta granché se stiamo lavorando nella variabile ausiliaria $t$..
Saluti dal web.
La scelta di $t$ in luogo della $x$ non era casuale,nel post precedente:
in effetti può essere che il sistema $-1 le t=1-(x-1)^(1/3) le 1$
(insisto col dire che gli estremi sono presi,nell'intervallo di convergenza puntuale della tua successione di funzioni,e poi parliamo di quella uniforme..)
abbia soluzione $x >1$,
benché ad occhio e croce a me pare sia $1 le x le 9$
,ma non conta granché se stiamo lavorando nella variabile ausiliaria $t$..
Saluti dal web.
Ma perché mi chiami Blake? XD
Comunque hai fatto un po di casino con latex :p
Comunque hai fatto un po di casino con latex :p
Scusa,ma in questi giorni la mia connessione dal Pc è un pò ballerina
(come evidentemente la mia memoria,dato che ho scordato il nome corretto
)
e dunque spesso posto da un cellulare che,non supportando il tex,mi costringe a fare il "compilatore umano":
con probabilità d'errore evidentemente elevate,cui spero d'aver posto rimedio con l'edit al mio post precedente..
Saluti dal web.
(come evidentemente la mia memoria,dato che ho scordato il nome corretto
)e dunque spesso posto da un cellulare che,non supportando il tex,mi costringe a fare il "compilatore umano":
con probabilità d'errore evidentemente elevate,cui spero d'aver posto rimedio con l'edit al mio post precedente..
Saluti dal web.
Posto qui un altro esercizietto che ho appena svolto, nella speranza di sapere se è giusto o sbagliato.
$ f_n(x) = 10^(-n+xy) $
Convergenza puntuale
Ho posto $ t = xy $ e l'ho fissato in R. Faccio $ lim_{n \to +\infty} 10^(-n+t) $ che fa 0 per ogni $ t $ appartenente ad R.
E' giusto?
Convergenza uniforme
Fisso n naturale. Devo trovare il $ "sup"_{t in R} |\frac {10^t}{10^n} | $.
Se n è fissato a denominatore c'è un semplice numero. La funzione mi sembra crescente quindi il sup dovrebbe essere
$ +\infty $.
La condizione per la convergenza uniforme è che il $ lim_{n \to +\infty} "sup"_{t in R} |\frac {10^t}{10^n} | $ sia uguale a 0. Se ho ragionato bene quindi,
non si ha convergenza uniforme in tutto R.
Purtroppo viene chiesto di trovare un sottoinsieme di R dove ci sia convergenza uniforme. Non so, io andrei
ad intuito e direi $ (\alpha,0] $ con $ \alpha < 0 $. In questo insieme il sup dovrebbe essere $ \frac {1}{10^n} $
che tende a 0 per $ n \to \infty $.
Quante scemenze ho detto?
$ f_n(x) = 10^(-n+xy) $
Convergenza puntuale
Ho posto $ t = xy $ e l'ho fissato in R. Faccio $ lim_{n \to +\infty} 10^(-n+t) $ che fa 0 per ogni $ t $ appartenente ad R.
E' giusto?
Convergenza uniforme
Fisso n naturale. Devo trovare il $ "sup"_{t in R} |\frac {10^t}{10^n} | $.
Se n è fissato a denominatore c'è un semplice numero. La funzione mi sembra crescente quindi il sup dovrebbe essere
$ +\infty $.
La condizione per la convergenza uniforme è che il $ lim_{n \to +\infty} "sup"_{t in R} |\frac {10^t}{10^n} | $ sia uguale a 0. Se ho ragionato bene quindi,
non si ha convergenza uniforme in tutto R.
Purtroppo viene chiesto di trovare un sottoinsieme di R dove ci sia convergenza uniforme. Non so, io andrei
ad intuito e direi $ (\alpha,0] $ con $ \alpha < 0 $. In questo insieme il sup dovrebbe essere $ \frac {1}{10^n} $
che tende a 0 per $ n \to \infty $.
Quante scemenze ho detto?
Non mi sembra che hai detto scemenze .Solo direi che l'intervallo di convergenza uniforme è $ (-oo, 0), $
.Solo direi che l'intervallo di convergenza uniforme è $ (-oo, 0), $
Si, ripensandoci hai ragione Ma perché hai escluso lo 0?
Ma perché hai escluso lo 0?
Perché ho sbagliato.
Perfetto xD
Ecco questa piccola variante mi sta facendo impensierire di più..
$ f_n(x,y) = 6^(-n-xy) $
Ho posto $ t = xy $, quindi si ottiene $ f_n(t) = 6^(-n-t) = \frac {1}{6^(n+t)} $
Fisso t in R e faccio $ lim_{n \to +\infty} \frac {1}{6^(n+t)} $
Credo che questo limite converge a 0 per $ t > - n $, altrimenti diverge. E' giusto? Se è giusto allora non c'è
convergenza uniforme in tutto R.
Ora però non so come trovare il sottoinsieme di convergenza uniforme.
Aggiornamento:
Ho fatto un tentativo (ma come metodo non è per niente giusto >.<). Ho provato casualmente l'insieme $ [0,+\infty) $.
$ "sup"_{t \in [0,+\infty)} | \frac {1}{6^(n+t)} | = "sup"_{t \in [0,+\infty)} \frac {1}{6^(n+t)} = \frac {1}{6^n} $
poiché la funzione è decrescente nell'intervallo considerato. Non ne sono sicuro perché dipende sempre da t rispetto ad n xD
Comunque, il $ lim_{n \to \infty} \frac {1}{6^n} $ fa 0, quindi apparentemente c'è convergenza uniforme nell'intervallo considerato.
Aggiornamento: Ho detto un'infinità di scemenze. Anche in questo caso converge a 0 puntualmente, qualunque sia t.
$ f_n(x,y) = 6^(-n-xy) $
Ho posto $ t = xy $, quindi si ottiene $ f_n(t) = 6^(-n-t) = \frac {1}{6^(n+t)} $
Fisso t in R e faccio $ lim_{n \to +\infty} \frac {1}{6^(n+t)} $
Credo che questo limite converge a 0 per $ t > - n $, altrimenti diverge. E' giusto? Se è giusto allora non c'è
convergenza uniforme in tutto R.
Ora però non so come trovare il sottoinsieme di convergenza uniforme.
Aggiornamento:
Ho fatto un tentativo (ma come metodo non è per niente giusto >.<). Ho provato casualmente l'insieme $ [0,+\infty) $.
$ "sup"_{t \in [0,+\infty)} | \frac {1}{6^(n+t)} | = "sup"_{t \in [0,+\infty)} \frac {1}{6^(n+t)} = \frac {1}{6^n} $
poiché la funzione è decrescente nell'intervallo considerato. Non ne sono sicuro perché dipende sempre da t rispetto ad n xD
Comunque, il $ lim_{n \to \infty} \frac {1}{6^n} $ fa 0, quindi apparentemente c'è convergenza uniforme nell'intervallo considerato.
Aggiornamento: Ho detto un'infinità di scemenze. Anche in questo caso converge a 0 puntualmente, qualunque sia t.
Ho fatto un tentativo (ma come metodo non è per niente giusto >.<). Ho provato casualmente l'insieme $ [0,+\infty) $.
$ "sup"_{t \in [0,+\infty)} | \frac {1}{6^(n+t)} | = "sup"_{t \in [0,+\infty)} \frac {1}{6^(n+t)} = \frac {1}{6^n} $
poiché la funzione è decrescente nell'intervallo considerato. Non ne sono sicuro perché dipende sempre da t rispetto ad n xD
Comunque, il $ lim_{n \to \infty} \frac {1}{6^n} $ fa 0, quindi apparentemente c'è convergenza uniforme nell'intervallo considerato.
Ho potuto guardare solo rapidamente questo esercizio, per cui la scemenza è in agguato (ma quelle sono sempre in agguato).
Mi trovo che il limite puntuale è 0 in tutto R.
Per la convergenza uniforme, sono d'accordo che converge uniformemente in $ [0,+oo ) $ , ma mi sembra che converge uniformemente in qualsiasi intervallo del tipo $ [a,+oo ) ain R $ , il sup va a zero in ogni caso, l'importante che non sia $ (-oo ,+oo ) $
Fare dei tentativi secondo me è giusto, serve a capire la situazione
$ "sup"_{t \in [0,+\infty)} | \frac {1}{6^(n+t)} | = "sup"_{t \in [0,+\infty)} \frac {1}{6^(n+t)} = \frac {1}{6^n} $
poiché la funzione è decrescente nell'intervallo considerato. Non ne sono sicuro perché dipende sempre da t rispetto ad n xD
Comunque, il $ lim_{n \to \infty} \frac {1}{6^n} $ fa 0, quindi apparentemente c'è convergenza uniforme nell'intervallo considerato.
Ho potuto guardare solo rapidamente questo esercizio, per cui la scemenza è in agguato (ma quelle sono sempre in agguato).
Mi trovo che il limite puntuale è 0 in tutto R.
Per la convergenza uniforme, sono d'accordo che converge uniformemente in $ [0,+oo ) $ , ma mi sembra che converge uniformemente in qualsiasi intervallo del tipo $ [a,+oo ) ain R $ , il sup va a zero in ogni caso, l'importante che non sia $ (-oo ,+oo ) $
Fare dei tentativi secondo me è giusto, serve a capire la situazione
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