Esercizio successione di funzioni
Salve. Ho difficoltà nel calcolare la convergenza di questa successione di funzioni:
$ f_n (x,y) = \frac {n^6}{(n^6)(y^2 + 3x)^2 + n^5} $
Pongo $ t = (y^2 + 3x)^2 $ ed ottengo:
$ f_n (t) = \frac {n^6}{(n^6)t + n^5} $
Fisso t in R e faccio $ lim_{n \to +\infty} \frac {n^6}{(n^6)t + n^5} $ che:
1) Diverge per t = 0
2) Converge ad 1 per t = 1
3) Converge ad 1/t per t > 1
Non posso avere convergenza uniforme in tutto R poiché tale limite puntuale è discontinuo. Devo trovare un sottoinsieme di convergenza uniforme. La convergenza è sicuramente uniforme in intervalli del tipo $ I = [\alpha, +\infty) $ con
$ \alpha > 1 $ no?
Però non mi esce, perché:
Fisso n e cerco l'estremo superiore di (come si fa in latex? xD) $ \| \frac {n^6}{(n^6)t + n^5} - 1 \| = \frac {n^6 - n^6t - n^5}{n^6t + n^5} $
L'estremo superiore dovrebbe essere: $ \frac {n^6 - n^6\alpha - n^5}{n^6\alpha + n^5} $ il cui limite però non esce 0 e dunque non risulta convergenza uniforme nell'intervallo che ho considerato
Cosa sbaglio?
$ f_n (x,y) = \frac {n^6}{(n^6)(y^2 + 3x)^2 + n^5} $
Pongo $ t = (y^2 + 3x)^2 $ ed ottengo:
$ f_n (t) = \frac {n^6}{(n^6)t + n^5} $
Fisso t in R e faccio $ lim_{n \to +\infty} \frac {n^6}{(n^6)t + n^5} $ che:
1) Diverge per t = 0
2) Converge ad 1 per t = 1
3) Converge ad 1/t per t > 1
Non posso avere convergenza uniforme in tutto R poiché tale limite puntuale è discontinuo. Devo trovare un sottoinsieme di convergenza uniforme. La convergenza è sicuramente uniforme in intervalli del tipo $ I = [\alpha, +\infty) $ con
$ \alpha > 1 $ no?
Però non mi esce, perché:
Fisso n e cerco l'estremo superiore di (come si fa in latex? xD) $ \| \frac {n^6}{(n^6)t + n^5} - 1 \| = \frac {n^6 - n^6t - n^5}{n^6t + n^5} $
L'estremo superiore dovrebbe essere: $ \frac {n^6 - n^6\alpha - n^5}{n^6\alpha + n^5} $ il cui limite però non esce 0 e dunque non risulta convergenza uniforme nell'intervallo che ho considerato
Cosa sbaglio?
Risposte
Più che altro credo di non capire quale funzione sottrarre nel valore assoluto quando calcolo l'estremo superiore.
Cioè so che devo sottrarre il limite puntuale, ma se esso è discontinuo come in questo caso, assume valori diversi.
Se sottraessi 1/t uscirebbe la convergenza uniforme.
Cioè so che devo sottrarre il limite puntuale, ma se esso è discontinuo come in questo caso, assume valori diversi.
Se sottraessi 1/t uscirebbe la convergenza uniforme.
"Drake_89":
Più che altro credo di non capire quale funzione sottrarre nel valore assoluto quando calcolo l'estremo superiore.
Cioè so che devo sottrarre il limite puntuale, ma se esso è discontinuo come in questo caso, assume valori diversi.
Se sottraessi 1/t uscirebbe la convergenza uniforme.
Bisogna sottrarre 1/t e non 1, poiché stiamo considerando valori di t maggiori di 1, dove la successione converge puntualmente a 1/t
Si, alla fine come spiegazione è abbastanza ovvia >.<
Ho proprio difficoltà con questi esercizi. Potete dirmi se ho svolto bene anche questo?
$ f_n (x) = x^n log(n^3x + 1) $ per $ x>= 0 $ ed $ n >= 1 $
- Convergenza puntuale
Fisso $ x >= 1 $ e calcolo $ lim_{n \to \infty} x^n log(n^3x + 1) $
Per $ x = 0 $ ottengo $ f(x) = 0 $.
Per $ x >= 1 $ la successione diverge.
Per $ 0 < x < 1 $ ottengo $ f(x) = 0 $.
Dunque ho convergenza puntuale alla funzione $ f(x) = 0 $ per x appartenente a $ [0,1) $
Ho convergenza uniforme in $ [0,\alpha] $ con $ \alpha < 1 $ poiché:
estremo superiore di $ \| x^n log(n^3x + 1) \| $ in $ [0,\alpha] $ è $ \alpha^n log(n^3\alpha + 1) $
Il cui limite per n che tende a più infinito è 0.
Ho proprio difficoltà con questi esercizi. Potete dirmi se ho svolto bene anche questo?
$ f_n (x) = x^n log(n^3x + 1) $ per $ x>= 0 $ ed $ n >= 1 $
- Convergenza puntuale
Fisso $ x >= 1 $ e calcolo $ lim_{n \to \infty} x^n log(n^3x + 1) $
Per $ x = 0 $ ottengo $ f(x) = 0 $.
Per $ x >= 1 $ la successione diverge.
Per $ 0 < x < 1 $ ottengo $ f(x) = 0 $.
Dunque ho convergenza puntuale alla funzione $ f(x) = 0 $ per x appartenente a $ [0,1) $
Ho convergenza uniforme in $ [0,\alpha] $ con $ \alpha < 1 $ poiché:
estremo superiore di $ \| x^n log(n^3x + 1) \| $ in $ [0,\alpha] $ è $ \alpha^n log(n^3\alpha + 1) $
Il cui limite per n che tende a più infinito è 0.
Comincerei a far chiarezza su un punto importante
(che a te mi pare non generi confusione,ma potrebbe farlo ad eventuali lettori):
non è vero che quella successione di funzioni,tutte definite in $[0,+oo)$,converge ad una funzione discontinua,
ma lo è che converge alla $f(t)=1/t:(0,+oo) to RR$.
Questo comporta,per la nota caratterizzazione sulla convergenza uniforme in un intervallo base $X$,
che ai tuoi scopi si tratta innanzitutto di trovare,al variare di $n in NN$,
il termine generale della successione numerica di termine generale $M_n="sup"_(x in [alpha,+oo))1/(t(nt+1))$
(e quì mi sà che c'è qualcosa da rivedere,del tuo post precedente
..):
metodi per farlo ne dovresti conoscere almeno un paio,
e poi si tratta di discutere un passaggio al limite al variare del parametro $alpha$(obbligatoriamente in $(0,+oo)$..)
che mi pare porti ad una conclusione un pò diversa da quella che hai scritto
(a meno di miei sfondoni,abbastanza probabili,nei conti
)!
Stesso criterio per l'altro(staranno cercando d'impratichirti a non far confusione sugli enti in questione ):
forse t'ha fatto più simpatia del primo ma,ad occhio e croce,
mi sà che,sebbene la conclusione sia corretta,non lo è uscirsene così facilmente come hai fatto..
Saluti dal web.
(che a te mi pare non generi confusione,ma potrebbe farlo ad eventuali lettori):
non è vero che quella successione di funzioni,tutte definite in $[0,+oo)$,converge ad una funzione discontinua,
ma lo è che converge alla $f(t)=1/t:(0,+oo) to RR$.
Questo comporta,per la nota caratterizzazione sulla convergenza uniforme in un intervallo base $X$,
che ai tuoi scopi si tratta innanzitutto di trovare,al variare di $n in NN$,
il termine generale della successione numerica di termine generale $M_n="sup"_(x in [alpha,+oo))1/(t(nt+1))$
(e quì mi sà che c'è qualcosa da rivedere,del tuo post precedente
..):metodi per farlo ne dovresti conoscere almeno un paio,
e poi si tratta di discutere un passaggio al limite al variare del parametro $alpha$(obbligatoriamente in $(0,+oo)$..)
che mi pare porti ad una conclusione un pò diversa da quella che hai scritto
(a meno di miei sfondoni,abbastanza probabili,nei conti
)!Stesso criterio per l'altro(staranno cercando d'impratichirti a non far confusione sugli enti in questione
):forse t'ha fatto più simpatia del primo ma,ad occhio e croce,
mi sà che,sebbene la conclusione sia corretta,non lo è uscirsene così facilmente come hai fatto..
Saluti dal web.
Guarda la prof li risolve con una semplicità estrema, senza dire chissà cosa. All'esame credo che le sia sufficiente
uscirsene come ho fatto io XD. Comunque c'è poco da dire. Non può esserci convergenza uniforme nell'intervallo iniziale
se in tale intervallo il limite puntuale è discontinuo. Ci sarà convergenza uniforme nei sottointervalli che vanno ad
escludere i punti di discontinuità. Quindi si sceglie un parametro $ \alpha $ proprio a questo scopo. In genere
poi si dovrebbe capire se la funzione è crescente o decrescente ed agire di conseguenza.
uscirsene come ho fatto io XD. Comunque c'è poco da dire. Non può esserci convergenza uniforme nell'intervallo iniziale
se in tale intervallo il limite puntuale è discontinuo. Ci sarà convergenza uniforme nei sottointervalli che vanno ad
escludere i punti di discontinuità. Quindi si sceglie un parametro $ \alpha $ proprio a questo scopo. In genere
poi si dovrebbe capire se la funzione è crescente o decrescente ed agire di conseguenza.
O.k,sarò esplicito:
nel I° mi pare occorra e basti che sia $alpha>0$(ma magari sbaglio che ho fatto i conti a mente),
mentre nel II° direi che la successione degli estremi superiori non sia quella da te scritta,
sebbene c'è un modo,anche grazie ad essa,
per verificare che quella corretta è infinitesima senza passare per il complicato calcolo del suo termine generale..
La tua penultima conclusione è corretta,vista la continuità del termine generale della tua successione di funzioni:
è sull'ultima che non siamo d'accordo,e se non trovi da solo un controesempio che la invalidi fà pure un fischio..
Saluti dal web.
nel I° mi pare occorra e basti che sia $alpha>0$(ma magari sbaglio che ho fatto i conti a mente),
mentre nel II° direi che la successione degli estremi superiori non sia quella da te scritta,
sebbene c'è un modo,anche grazie ad essa,
per verificare che quella corretta è infinitesima senza passare per il complicato calcolo del suo termine generale..
La tua penultima conclusione è corretta,vista la continuità del termine generale della tua successione di funzioni:
è sull'ultima che non siamo d'accordo,e se non trovi da solo un controesempio che la invalidi fà pure un fischio..
Saluti dal web.
Ma se nel primo imponi $ \alpha > 0 $ non becchi la discontinuità nel punto 1? Per questo ho imposto $ \alpha > 1 $, zona
nel quale come ha detto gabriella la funzione converge al limite puntuale $ \frac {1}{t} $.
Per il secondo ammetto di aver fatto un tentativo insensato. Credo di dover calcolare l'estremo superiore di quella
funzione proprio in $ [0,1) $, senza considerare quell'alpha che ho messo. L'unico procedimento che mi viene in mente
è di calcolarne la derivata prima, vedere dove si annulla e fare la derivata seconda per capire se è un massimo o un minimo.
nel quale come ha detto gabriella la funzione converge al limite puntuale $ \frac {1}{t} $.
Per il secondo ammetto di aver fatto un tentativo insensato. Credo di dover calcolare l'estremo superiore di quella
funzione proprio in $ [0,1) $, senza considerare quell'alpha che ho messo. L'unico procedimento che mi viene in mente
è di calcolarne la derivata prima, vedere dove si annulla e fare la derivata seconda per capire se è un massimo o un minimo.
Per il primo osserva,per toglierti ogni dubbio,che la $f(t)=1/t:[alpha,+oo) to RR$ non è affatto discontinua in $t_0=1$ per alcun valore positivo del parametro $alpha$:
inoltre,se proprio non ti convince,nota solo che $f(1)=1/1=1$ ..
Per il secondo lascia perdere quella via troppo calcolosa,pur non sbagliata a priori,e vedi se riesci a verificare,
per benino che $alpha^nlog(n^3alpha+1)$ è,$AA n in NN$,maggiorante in $[0,alpha]sub [0,1)$ di $|f_n(t)-f(t)|$:
dalla definizione di estemo superiore potrai dedurne qualcosa di molto utile,
anche grazie al Teorema dei due carabinieri,ai tuoi fini ..
Saluti dal web.
inoltre,se proprio non ti convince,nota solo che $f(1)=1/1=1$
..Per il secondo lascia perdere quella via troppo calcolosa,pur non sbagliata a priori,e vedi se riesci a verificare,
per benino che $alpha^nlog(n^3alpha+1)$ è,$AA n in NN$,maggiorante in $[0,alpha]sub [0,1)$ di $|f_n(t)-f(t)|$:
dalla definizione di estemo superiore potrai dedurne qualcosa di molto utile,
anche grazie al Teorema dei due carabinieri,ai tuoi fini
..Saluti dal web.
"Drake_89":
Si, alla fine come spiegazione è abbastanza ovvia >.<
Ho proprio difficoltà con questi esercizi. Potete dirmi se ho svolto bene anche questo)
$ f_n (x) = x^n log(n^3x + 1) $ per $ x>= 1 $ ed $ n >= 1 $
- Convergenza puntuale
Fisso $ x >= 1 $ e calcolo $ lim_{n \to \infty} x^n log(n^3x + 1) $
Per $ x = 0 $ ottengo $ f(x) = 0 $.
Per $ x >= 1 $ la successione diverge.
Per $ 0 < x < 1 $ ottengo $ f(x) = 0 $.
Dunque ho convergenza puntuale alla funzione $ f(x) = 0 $ per x appartenente a $ [0,1) $
Ho convergenza uniforme in $ [0,\alpha] $ con $ \alpha < 1 $ poiché:
estremo superiore di $ \| x^n log(n^3x + 1) \| $ in $ [0,\alpha] $ è $ \alpha^n log(n^3\alpha + 1) $
Il cui limite per n che tende a più infinito è 0.
Per quanto riguarda il primo esercizio mi sembra che i limiti che hai fatto per calcolare la convergenza puntuale sono giusti, quindi il limite puntuale è discontinuo, c'è convergenza uniforme solo in (1, + $ oo $).
Per quanto riguarda il secondo esercizio, non capisco, il testo dice di considerare solo $ x >=1 $ , quindi perché guardi l'intervallo [0,1)? Ma per x $ >= 1$ diverge, quindi è finito l'esercizio. Sarà così o c'è qualche errore nel testo? O mi confondo io?
Errore mio, il testo dice $ x >= 0 $, correggo subito.
@Gabriella.
$EElim_(n to +oo)n/(nt+1)=1/t$ $AA t in (0,+oo)$:
perchè attenzionare il punto $t_0=1$,allora ?
Inoltre era chiaro come nel II° punto ci fosse qualcosa che non andava:
non vedevo una grande utilità formativa,
in un esercizio che si conclude in due parole dicendo che la successione di funzioni non converge in alcun punto dell'intervallo base .
@Blake.
Hai riflettuto per benino,su come saltarti quello studio di funzione
(che tra l'altro non mi pare ti consenta di trovare un'espressione "standard" di quell'estremo superiore..)?
Saluti dal web.
$EElim_(n to +oo)n/(nt+1)=1/t$ $AA t in (0,+oo)$:
perchè attenzionare il punto $t_0=1$,allora
?Inoltre era chiaro come nel II° punto ci fosse qualcosa che non andava:
non vedevo una grande utilità formativa,
in un esercizio che si conclude in due parole dicendo che la successione di funzioni non converge in alcun punto dell'intervallo base
.@Blake.
Hai riflettuto per benino,su come saltarti quello studio di funzione
(che tra l'altro non mi pare ti consenta di trovare un'espressione "standard" di quell'estremo superiore..)?
Saluti dal web.
Possibile che $ log(n^3x + 1) $ sia $ O(n^3x)^n $ ?
Facciamo così:
tu hai detto che $"sup"_(x in [o,alpha])x^n"log"(n^3x+1)=alpha^n"log"(n^3 alpha+1)$ $AA alpha in I=[0,1)$,giusto?
Io direi piuttosto che $"sup"_(x in [0,alpha])x^n"log"(n^3x+1)<=alpha^n"log"(n^3 alpha+1)$ $AA n in NN,AA alpha in I$(1):
perchè?
Ciò assunto,come t'è utile la (1) ai tuoi fini ?
Saluti dal web.
tu hai detto che $"sup"_(x in [o,alpha])x^n"log"(n^3x+1)=alpha^n"log"(n^3 alpha+1)$ $AA alpha in I=[0,1)$,giusto?
Io direi piuttosto che $"sup"_(x in [0,alpha])x^n"log"(n^3x+1)<=alpha^n"log"(n^3 alpha+1)$ $AA n in NN,AA alpha in I$(1):
perchè?
Ciò assunto,come t'è utile la (1) ai tuoi fini
?Saluti dal web.
"theras":
@Gabriella.
$EElim_(n to +oo)n/(nt+1)=1/t$ $AA t in (0,+oo)$:
perchè attenzionare il punto $t_0=1$,allora
Inoltre era chiaro come nel II° punto ci fosse qualcosa che non andava:
non vedevo una grande utilità formativa,
in un esercizio che si conclude in due parole dicendo che la successione di funzioni non converge in alcun punto dell'intervallo base
@Blake.
Hai riflettuto per benino,su come saltarti quello studio di funzione
(che tra l'altro non mi pare ti consenta di trovare un'espressione "standard" di quell'estremo superiore..)?
Saluti dal web.
Hai ragione,hai ragione, avevo solo guardato i limiti di Drake e mi sembravano giusti
"theras":
Facciamo così:
tu hai detto che $"sup"_(x in [o,alpha])x^n"log"(n^3x+1)=alpha^n"log"(n^3 alpha+1)$ $AA alpha in I=[0,1)$,giusto?
Io direi piuttosto che $"sup"_(x in [0,alpha])x^n"log"(n^3x+1)<=alpha^n"log"(n^3 alpha+1)$ $AA n in NN,AA alpha in I$(1):
perchè?
Ciò assunto,come t'è utile la (1) ai tuoi fini
Saluti dal web.
Ma non hai semplicemente applicato un corollario del teorema del confronto? (O dei Carabinieri, chiamalo come vuoi xD)
O meglio, da quello che hai detto è applicabile il teorema del confronto da cui si può dire che fare il limite di
$ x^n"log"(n^3x+1) $ equivale a fare il limite di $ alpha^n"log"(n^3 alpha+1) $.
Beh,certo,se il IIº limite è nullo(facciamo finta di non saperlo,dai 
)
è la stessa cosa
(lo dice il teorema dei due carabinieri,appunto):
in fondo il termine generale della successione degli estremi superiori è sicuramente non negativo..
Considerata acquisita questa prima questione essenziale,però,
andiamo all'altra:
perché la (1) è vera?
Ultima domanda:
se possiamo evitare di farci del male con quello studio di funzione lo evitiamo
(mi sà tanto di legge di Murphy all'incontrario,inversione possibile visto che non siamo nella Vita quotidiana ) ,sei d'accordo ?
Saluti dal web.
)è la stessa cosa
(lo dice il teorema dei due carabinieri,appunto):
in fondo il termine generale della successione degli estremi superiori è sicuramente non negativo..
Considerata acquisita questa prima questione essenziale,però,
andiamo all'altra:
perché la (1) è vera?
Ultima domanda:
se possiamo evitare di farci del male con quello studio di funzione lo evitiamo
(mi sà tanto di legge di Murphy all'incontrario,inversione possibile visto che non siamo nella Vita quotidiana
) ,sei d'accordo ?Saluti dal web.
Beh mi sembra ovvio che si cerca di intraprendere la strada più veloce 
Suppongo che la (1) sia vera perché la funzione considerata è crescente ed in $ [0, \alpha] $ il valore massimo che può
assumere lo assume prioprio in $ \alpha $. Ci ho preso spero.. xD
Suppongo che la (1) sia vera perché la funzione considerata è crescente ed in $ [0, \alpha] $ il valore massimo che può
assumere lo assume prioprio in $ \alpha $. Ci ho preso spero.. xD
Si,c'hai preso :
per verificare quanto giustamente affermi,lo dico a beneficio d'eventuali lettori,basta notare che
$f,g:X to R$ t.c. $X,"imf","img" sube [0,+oo)$ e $f,g$ sono crescenti $rArr$
$rArr f*g:X to RR$ è crescente..
Saluti dal web.
:per verificare quanto giustamente affermi,lo dico a beneficio d'eventuali lettori,basta notare che
$f,g:X to R$ t.c. $X,"imf","img" sube [0,+oo)$ e $f,g$ sono crescenti $rArr$
$rArr f*g:X to RR$ è crescente..
Saluti dal web.
Ok, ho difficoltà con un altro esercizio guarda un po Io lo posto, ma non voglio approfittare della vostra gentilezza quindi se nessuno risponde pazienza 
$ f_n(x) = \frac {(1-(x-1)^(1/3))^n}{n} $
x appartiene ad R.
- Convergenza puntuale
Ad x fissato si ha convergenza puntuale a $ f(x) = 0 $ se $ 1 - (x-1)^(1/3) < 1 $, cioè se $ x > 1 $.
Quindi l'insieme di convergenza puntuale è $ (1, +\infty) $.
- Convergenza uniforme
Fisso n e faccio $ "sup"_(x>1) \| \frac {(1-(x-1)^(1/3))^n}{n} \| $
Ok. Questa volta mi sembra di capire che la via calcolosa sia l'unica possibile, giusto?
In realtà si vede che è una successione decrescente. La derivata prima infatti è negativa.
L'estremo superiore potrebbe essere il primo termine della successione? Quindi potrei fare il
$ lim_{x \to -\infty} \frac {(1-(x-1)^(1/3))^n}{n} $ ma non sono nemmeno lontanamente sicuro xD
Che poi, se $ x > 1 $, il valore massimo che assume la funzione si ha per $ x = 2 $, che è 0 ._.
Possibile che il sup sia 0 e che l'esercizio finisca così?
Io lo posto, ma non voglio approfittare della vostra gentilezza quindi se nessuno risponde pazienza $ f_n(x) = \frac {(1-(x-1)^(1/3))^n}{n} $
x appartiene ad R.
- Convergenza puntuale
Ad x fissato si ha convergenza puntuale a $ f(x) = 0 $ se $ 1 - (x-1)^(1/3) < 1 $, cioè se $ x > 1 $.
Quindi l'insieme di convergenza puntuale è $ (1, +\infty) $.
- Convergenza uniforme
Fisso n e faccio $ "sup"_(x>1) \| \frac {(1-(x-1)^(1/3))^n}{n} \| $
Ok. Questa volta mi sembra di capire che la via calcolosa sia l'unica possibile, giusto?
In realtà si vede che è una successione decrescente. La derivata prima infatti è negativa.
L'estremo superiore potrebbe essere il primo termine della successione? Quindi potrei fare il
$ lim_{x \to -\infty} \frac {(1-(x-1)^(1/3))^n}{n} $ ma non sono nemmeno lontanamente sicuro xD
Che poi, se $ x > 1 $, il valore massimo che assume la funzione si ha per $ x = 2 $, che è 0 ._.
Possibile che il sup sia 0 e che l'esercizio finisca così?
L'argomento che stai studiando,al momento,è Analisi I "mascherata":
ovvero la materia dove,tra le altre cose,hai imparato che $EE lim_(n to +oo)(t^n)/n=l in RR hArr l=0" e "t in [-1,1]$
(e se così non è,svolgilo come utile esercizio )..
Per la convergenza uniforme il discorso di base resta lo stesso di prima,avendosi $|(t^n)/n| le 1/n$ $AA n in NN,AA t in [-1,1]$:
saluti dal web.
ovvero la materia dove,tra le altre cose,hai imparato che $EE lim_(n to +oo)(t^n)/n=l in RR hArr l=0" e "t in [-1,1]$
(e se così non è,svolgilo come utile esercizio
)..Per la convergenza uniforme il discorso di base resta lo stesso di prima,avendosi $|(t^n)/n| le 1/n$ $AA n in NN,AA t in [-1,1]$:
saluti dal web.
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