Esercizio Successione di funzioni
Consideriamo la successione di funzioni $f_n : [0,1] -> R$ definite per ogni $n \in N^+$, da
Il grafico di $f_n$ è formato dai lati di un triangolo isoscele avente per base il segmento $[0,1/n]$ sull'asse $x$ e altezza $n$ , più il segmento $[1/n,1]$ sull'asse x.
Si verifica facilmente che questa successione di funzioni converge puntualmente in tutto l'intervallo [0,1], alla funzione nulla. Infatti se $x=0$ è chiaro che $ lim_(n->infty) f_n(0)=0 $ ,viceversa se x>0 (e adesso viene la parte che mi risulta ostica) , allora la successione numerica $(f_n(x))_n$ è definitivamente nulla. Più precisamente fissiamo $x>0$ e sia $n_0 \in N$ tale che $n_0 >1/x$ (che significa?); allora per ogni $n>=n_0$, si ha $f_n(x)=0$. Di conseguenza $lim_(n->infty) f_n(x)=0 $.
Graficamente questo fatto è evidente : da un certo indice $n_0$ in poi la base di tutti i triangoli isosceli giace alla sinistra del punto $x$ e quindi le corrispondenti funzioni $f_n$ si annullano in x. Help please quest'ultima parte non l'ho compresa proprio.
Perchè non mi legge la seconda formula ??
Il grafico di $f_n$ è formato dai lati di un triangolo isoscele avente per base il segmento $[0,1/n]$ sull'asse $x$ e altezza $n$ , più il segmento $[1/n,1]$ sull'asse x.
Si verifica facilmente che questa successione di funzioni converge puntualmente in tutto l'intervallo [0,1], alla funzione nulla. Infatti se $x=0$ è chiaro che $ lim_(n->infty) f_n(0)=0 $ ,viceversa se x>0 (e adesso viene la parte che mi risulta ostica) , allora la successione numerica $(f_n(x))_n$ è definitivamente nulla. Più precisamente fissiamo $x>0$ e sia $n_0 \in N$ tale che $n_0 >1/x$ (che significa?); allora per ogni $n>=n_0$, si ha $f_n(x)=0$. Di conseguenza $lim_(n->infty) f_n(x)=0 $.
Graficamente questo fatto è evidente : da un certo indice $n_0$ in poi la base di tutti i triangoli isosceli giace alla sinistra del punto $x$ e quindi le corrispondenti funzioni $f_n$ si annullano in x. Help please quest'ultima parte non l'ho compresa proprio.
Perchè non mi legge la seconda formula ??
Risposte
L'intervallo su cui la successione è definita dipende da n, in particolare è:
\(\displaystyle x \in [0, \frac{1}{n}] \)
Al crescere di n, l'intervallo si riduce, e per dimostrare che la funzione tende a zero per x non nullo si sfrutta questo fatto.
Ti faccio un esempio numerico, il ragionamento che hai scritto tu è la generalizzazione. Se
\(\displaystyle n=1 \)
l'intervallo diventa:
\(\displaystyle [0, 1] \).
Immagine di scegliere:
\(\displaystyle x \in [0,1] \)
Comunque tu scelga la x in questo intervallo riesci a trovare un n abbastanza grande per cui il punto prescelto è fuori dall'intervallo. Se fosse stato scelto ad esempio x=1/4 per n=5 questo punto sta fuori dall'intervallo, quindi al limite hai la funzione nulla. Ti torna?
\(\displaystyle x \in [0, \frac{1}{n}] \)
Al crescere di n, l'intervallo si riduce, e per dimostrare che la funzione tende a zero per x non nullo si sfrutta questo fatto.
Ti faccio un esempio numerico, il ragionamento che hai scritto tu è la generalizzazione. Se
\(\displaystyle n=1 \)
l'intervallo diventa:
\(\displaystyle [0, 1] \).
Immagine di scegliere:
\(\displaystyle x \in [0,1] \)
Comunque tu scelga la x in questo intervallo riesci a trovare un n abbastanza grande per cui il punto prescelto è fuori dall'intervallo. Se fosse stato scelto ad esempio x=1/4 per n=5 questo punto sta fuori dall'intervallo, quindi al limite hai la funzione nulla. Ti torna?
no l'intervallo della succesione è $[0,1]$? ma tu la vedi la successione scritta nella seconda riga??
Si è [0,1] avevo letto in fretta, ora correggo:) no ci sarà qualche errore da qualche parte:)
f_n(x)= { ( 2n^2x if x in [0,1/(2n)] ),( 2n-2n^2x if x in (1/(2n),1/n) ),( 0 if x in [1/n,1] ):}
Se lo metti in formula lo visualizzi pero
Non capisco $n_0>1/x$
Se lo metti in formula lo visualizzi pero
Non capisco $n_0>1/x$
Va bene, anche se non c'è la definizione precisa il disegno è molto chiaro:)
Quel
\(\displaystyle n_0 > \frac {1}{x} \)
è la traduzione in formule di "puoi trovare un n (che è proprio \(\displaystyle n_0 \)) per cui x (che è fissato!) è fuori dall'intervallo", se la giri hai:
\(\displaystyle x>\frac{1}{n_0} \)
quindi per\(\displaystyle n_0 \) sufficientemente grande la x non sta più dentro l'intervallo
\(\displaystyle n_0 > \frac {1}{x} \)
è la traduzione in formule di "puoi trovare un n (che è proprio \(\displaystyle n_0 \)) per cui x (che è fissato!) è fuori dall'intervallo", se la giri hai:
\(\displaystyle x>\frac{1}{n_0} \)
quindi per\(\displaystyle n_0 \) sufficientemente grande la x non sta più dentro l'intervallo
si ma il ragionamento numerico del tuo primo post non è più valido perchè l'intervallo non dipende da n. L'intervallo è [0,1].
Non mi dire niente potresti spiegarmelo in modo meno sintetico, l'argomento per me è nuovo , inoltre ho anche problemi a comprendere la differenza tra convergenza puntuale ed uniforme
Non mi dire niente potresti spiegarmelo in modo meno sintetico, l'argomento per me è nuovo , inoltre ho anche problemi a comprendere la differenza tra convergenza puntuale ed uniforme
No quando ti ho scritto dell'intervallo [0,1] non intendevo far sparire la dipendenza da n, era per rendere più chiaro il fatto che se inizialemente fissi un punto nell'intervallo, puoi trovare un n abbastanza grande per cui il punto scelto non vi appartiene più. Se vuoi che ti spieghi con più dettagli non c'è problema, dimmi pure e faccio del mio meglio:)
si ti ringrazio , potresti essere più dettagliato nella parte x>0, da li in poi non ci capisco nulla
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