Esercizio successione di Cauchy
Salve a tutti!
Mi sono imbattuta in questo esercizio di analisi funzionale che non riesco a risolvere! Mi si chiede di dimostrare che la successione $x^n$ nello spazio $l^2$ ( elle-piccolo !) definita in questo modo:
$ x_j^n :=\{ (1 / sqrt j, ", se " j<= n ) , ( 0, ", altrimenti"):}$
è di Cauchy con la norma indotta dal seguente prodotto scalare : $ = sum_(j =1)^(oo) (x_j y_j )/j $!
La mia successione ha così un numero finito di elementi non nulli, ne ha al più $n$!
Io so che la serie della successione al quadrato converge perchè sta in $ l^2$, ma scusate non viene la serie armonica, perchè la radice quadrata si semplifica con il quadrato?
E poi cosa vuol dire che è di Cauchy con la norma indotta dal prodotto scalare?
Grazie a tutti!
Mi sono imbattuta in questo esercizio di analisi funzionale che non riesco a risolvere! Mi si chiede di dimostrare che la successione $x^n$ nello spazio $l^2$ ( elle-piccolo !) definita in questo modo:
$ x_j^n :=\{ (1 / sqrt j, ", se " j<= n ) , ( 0, ", altrimenti"):}$
è di Cauchy con la norma indotta dal seguente prodotto scalare : $
La mia successione ha così un numero finito di elementi non nulli, ne ha al più $n$!
Io so che la serie della successione al quadrato converge perchè sta in $ l^2$, ma scusate non viene la serie armonica, perchè la radice quadrata si semplifica con il quadrato?
E poi cosa vuol dire che è di Cauchy con la norma indotta dal prodotto scalare?
Grazie a tutti!
Risposte
Innanzitutto dovresti verificare che l'applicazione:
[tex]$\ell^2 \times \ell^2 \ni (x,y)\mapsto \langle x,y\rangle :=\sum_{j=1}^{+\infty} \frac{x_j y_j}{j}$[/tex]
è effettivamente un prodotto scalare su [tex]$\ell^2$[/tex], ossia devi fare vedere che essa prende valori in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] e che è bilineare, simmetrica e definita positiva.
Fatto ciò, puoi passare a dire cosa s'intende per "norma indotta dal prodotto [tex]$\langle \cdot ,\cdot \rangle$[/tex]": tale norma è l'applicazione definita ponendo:
[tex]$\ell^2 \ni x\mapsto \lVert x\rVert := \sqrt{\langle x,x\rangle} \in [0,+\infty[$[/tex].
Detto ciò, puoi dire cosa significa per una successione [tex]$(x^n)\subset \ell^2$[/tex] "essere di Cauchy rispetto alla norma indotta da [tex]$\langle \cdot ,\cdot \rangle$[/tex]", ossia:
(*) [tex]$\forall \varepsilon >0, \exists \nu \in \mathbb{N}:\ \forall n\geq \nu, \forall p\in \mathbb{N},\ \lVert x^{n+p}-x^n\lVert \leq \varepsilon$[/tex];
nota che la definizione è sempre la stessa, cambia solo la norma usata (infatti se al posto di [tex]$\lVert \cdot \rVert$[/tex] usi la norma [tex]$|\cdot |$[/tex] indotta dal prodotto scalare standard [tex]$(\cdot, \cdot)$[/tex] ritrovi la definizione usuale di successione di Cauchy in norma [tex]$\ell^2$[/tex]).
***
Fatte queste premesse (che comunque non sarebbero state necessarie, se avessi letto con più attenzione la teoria), passiamo all'esercizio.
Vuoi dimostrare che la successione [tex]$(x^n)\subset \ell^2$[/tex], il cui termine generale è definito ponendo:
[tex]$x_j^n:=\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{j}} &\text{, se $1\leq j\leq n$} \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}$[/tex],
è di Cauchy rispetto a [tex]$\lVert \cdot \rVert$[/tex]; per fare ciò, per quanto detto sopra, devi dimostrare che la tua [tex]$(x^n)$[/tex] soddisfi la (*).
Fissiamo allora [tex]$n,p\in \mathbb{N}$[/tex] e calcoliamo [tex]$\lVert x^{n+p}-x^n\rVert^2$[/tex]: abbiamo:
[tex]$\lVert x^{n+p}-x^n\rVert^2 =\langle x^{n+p}-x^n ,x^{n+p}-x^n \rangle = \sum_{j=1}^{+\infty} \frac{(x_j^{n+p}-x_j^n)^2}{j} = \sum_{j=n+1}^{n+p} \frac{(\frac{1}{\sqrt{j}})^2}{j} =\sum_{j=n+1}^{n+p} \frac{1}{j^2}$[/tex];
visto che la serie [tex]\sum \frac{1}{j^2}[/tex] converge, la quantità all'ultimo membro si può maggiorare con [tex]\sum_{j=n+1}^{+\infty} \frac{1}{j^2}[/tex], ottenendo:
[tex]$\lVert x^{n+p}-x^n\rVert^2\leq \sum_{j=n+1}^{+\infty} \frac{1}{j^2}$[/tex];
conseguentemente, se si vuole trovare [tex]$\nu \in \mathbb{N}$[/tex] tale che [tex]$\forall n\geq \nu, \forall p\in \mathbb{N}$[/tex] risulta [tex]$\lVert x^{n+p}-x^n\rVert^2 \leq \varepsilon^2$[/tex] occorre e basta scegliere [tex]$\nu$[/tex] in modo che risulti [tex]\sum_{j=n+1}^{+\infty} \frac{1}{j^2}\leq \varepsilon^2[/tex]...
Lascio a te finire l'esercizio.
[tex]$\ell^2 \times \ell^2 \ni (x,y)\mapsto \langle x,y\rangle :=\sum_{j=1}^{+\infty} \frac{x_j y_j}{j}$[/tex]
è effettivamente un prodotto scalare su [tex]$\ell^2$[/tex], ossia devi fare vedere che essa prende valori in [tex]$\mathbb{R}$[/tex] e che è bilineare, simmetrica e definita positiva.
Fatto ciò, puoi passare a dire cosa s'intende per "norma indotta dal prodotto [tex]$\langle \cdot ,\cdot \rangle$[/tex]": tale norma è l'applicazione definita ponendo:
[tex]$\ell^2 \ni x\mapsto \lVert x\rVert := \sqrt{\langle x,x\rangle} \in [0,+\infty[$[/tex].
Detto ciò, puoi dire cosa significa per una successione [tex]$(x^n)\subset \ell^2$[/tex] "essere di Cauchy rispetto alla norma indotta da [tex]$\langle \cdot ,\cdot \rangle$[/tex]", ossia:
(*) [tex]$\forall \varepsilon >0, \exists \nu \in \mathbb{N}:\ \forall n\geq \nu, \forall p\in \mathbb{N},\ \lVert x^{n+p}-x^n\lVert \leq \varepsilon$[/tex];
nota che la definizione è sempre la stessa, cambia solo la norma usata (infatti se al posto di [tex]$\lVert \cdot \rVert$[/tex] usi la norma [tex]$|\cdot |$[/tex] indotta dal prodotto scalare standard [tex]$(\cdot, \cdot)$[/tex] ritrovi la definizione usuale di successione di Cauchy in norma [tex]$\ell^2$[/tex]).
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Fatte queste premesse (che comunque non sarebbero state necessarie, se avessi letto con più attenzione la teoria), passiamo all'esercizio.
Vuoi dimostrare che la successione [tex]$(x^n)\subset \ell^2$[/tex], il cui termine generale è definito ponendo:
[tex]$x_j^n:=\begin{cases} \frac{1}{\sqrt{j}} &\text{, se $1\leq j\leq n$} \\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}$[/tex],
è di Cauchy rispetto a [tex]$\lVert \cdot \rVert$[/tex]; per fare ciò, per quanto detto sopra, devi dimostrare che la tua [tex]$(x^n)$[/tex] soddisfi la (*).
Fissiamo allora [tex]$n,p\in \mathbb{N}$[/tex] e calcoliamo [tex]$\lVert x^{n+p}-x^n\rVert^2$[/tex]: abbiamo:
[tex]$\lVert x^{n+p}-x^n\rVert^2 =\langle x^{n+p}-x^n ,x^{n+p}-x^n \rangle = \sum_{j=1}^{+\infty} \frac{(x_j^{n+p}-x_j^n)^2}{j} = \sum_{j=n+1}^{n+p} \frac{(\frac{1}{\sqrt{j}})^2}{j} =\sum_{j=n+1}^{n+p} \frac{1}{j^2}$[/tex];
visto che la serie [tex]\sum \frac{1}{j^2}[/tex] converge, la quantità all'ultimo membro si può maggiorare con [tex]\sum_{j=n+1}^{+\infty} \frac{1}{j^2}[/tex], ottenendo:
[tex]$\lVert x^{n+p}-x^n\rVert^2\leq \sum_{j=n+1}^{+\infty} \frac{1}{j^2}$[/tex];
conseguentemente, se si vuole trovare [tex]$\nu \in \mathbb{N}$[/tex] tale che [tex]$\forall n\geq \nu, \forall p\in \mathbb{N}$[/tex] risulta [tex]$\lVert x^{n+p}-x^n\rVert^2 \leq \varepsilon^2$[/tex] occorre e basta scegliere [tex]$\nu$[/tex] in modo che risulti [tex]\sum_{j=n+1}^{+\infty} \frac{1}{j^2}\leq \varepsilon^2[/tex]...
Lascio a te finire l'esercizio.
Ma se prendo m anzichè n+p va bene lo stesso? comunque sto elaborando la risposta,la sto riscrivendo,cisto ragionando...così se non capisco qualcosati riscrivo!Comunque grazie tante....
PS Già che ci sto ! devo dimostrare che lo spazio $ l^00 $ non è separabile ! Devo far vedere che non contiene un sottoinsieme denso e numerabile ! Prendo allora K l'insieme delle successioni che assumono valori in $ {0,1} $ ! la dimostrazione mi è chiara,ma ti voglio chiedere lo stesso una cosa,anche se mi prenderai per cretina( ma io con le norme non sono molto brava !) : posso dire che $ || x^n-x^m ||_00 = 1 $ , con $ x^n $ diverso da $ x^m $ perchè le due successioni al massimo distano 1 ??
PS Già che ci sto ! devo dimostrare che lo spazio $ l^00 $ non è separabile ! Devo far vedere che non contiene un sottoinsieme denso e numerabile ! Prendo allora K l'insieme delle successioni che assumono valori in $ {0,1} $ ! la dimostrazione mi è chiara,ma ti voglio chiedere lo stesso una cosa,anche se mi prenderai per cretina( ma io con le norme non sono molto brava !) : posso dire che $ || x^n-x^m ||_00 = 1 $ , con $ x^n $ diverso da $ x^m $ perchè le due successioni al massimo distano 1 ??
Ah ecco cosa non mi ritorna ! Nelle sommatorie tu hai scritto ad un certo punto :per $ j= n+1 $ ma scusa per $ j> n $ i termini della serie non sono nulli per come sono definiti i termini della successione ? Grazie !!!!
Fai bene i conti.
In particolare, perchè non scrivi esplicitamente le componenti della successione differenza [tex]$x^{n+p}-x^n$[/tex]?
P.S.: Ovviamente prendere [tex]$m=n+p$[/tex] nella definizione di successione di Cauchy non lede la generalità; puoi sempre provarlo da sola, è un esercizio di Analisi I praticamente.
P.P.S.: Se [tex]$x^n,x^m \in \ell^\infty$[/tex] sono due successioni distinte con coordinate in [tex]$\{ 0,1\}$[/tex] (le potremmo chiamare "successioni di bit" o "successioni binarie"), esisterà almeno un indice [tex]$J$[/tex] tale che [tex]$x_J^n=1$[/tex] e [tex]$x_J^m=0$[/tex] o viceversa, perciò [tex]$\lVert x^n-x^m\rVert_\infty =\sup_j |x_j^n-x_j^m|\geq |x_J^n-x_J^m|=1$[/tex].
In particolare, perchè non scrivi esplicitamente le componenti della successione differenza [tex]$x^{n+p}-x^n$[/tex]?
P.S.: Ovviamente prendere [tex]$m=n+p$[/tex] nella definizione di successione di Cauchy non lede la generalità; puoi sempre provarlo da sola, è un esercizio di Analisi I praticamente.
P.P.S.: Se [tex]$x^n,x^m \in \ell^\infty$[/tex] sono due successioni distinte con coordinate in [tex]$\{ 0,1\}$[/tex] (le potremmo chiamare "successioni di bit" o "successioni binarie"), esisterà almeno un indice [tex]$J$[/tex] tale che [tex]$x_J^n=1$[/tex] e [tex]$x_J^m=0$[/tex] o viceversa, perciò [tex]$\lVert x^n-x^m\rVert_\infty =\sup_j |x_j^n-x_j^m|\geq |x_J^n-x_J^m|=1$[/tex].
Che stupida ! ho capito il fatto delle sommatorie....è come se facessi ( mi dispiace ma ancora on imparo bene a scrivere con latex,ma giuro che imparerò !) somme per i=1:7 di $x_i$ - somme per i:1:4 di $ x_i $ ...quello che mi viee fuori è banalmente questo : somme per i=5:7 ecc...giusto ???
poi per quanto riguarda la conlcusione ....basta osservare che quella successione per ipotesi converge e quindi basta che prendo un certo indice che vada bene per entrambe le disuguaglianze per avere la tesi !
poi per quanto riguarda la conlcusione ....basta osservare che quella successione per ipotesi converge e quindi basta che prendo un certo indice che vada bene per entrambe le disuguaglianze per avere la tesi !
"marge45":
Che stupida ! ho capito il fatto delle sommatorie....è come se facessi ( mi dispiace ma ancora on imparo bene a scrivere con latex,ma giuro che imparerò !) somme per i=1:7 di $x_i$ - somme per i:1:4 di $ x_i $ ...quello che mi viee fuori è banalmente questo : somme per i=5:7 ecc...giusto ???
Esatto.
"marge45":
poi per quanto riguarda la conlcusione ....basta osservare che quella successione per ipotesi converge e quindi basta che prendo un certo indice che vada bene per entrambe le disuguaglianze per avere la tesi !
Veramente, l'idea era quella di usare il fatto che una serie [tex]\sum_{j=1}^{\infty} a_j[/tex] converge se e solo se la successione dei resti, i.e. la successione di termine generale [tex]r_n:=\sum_{j=n+1}^{+\infty} a_j[/tex], è infinitesima.
Ah ! Questa cosa mi sfuggiva proprio! Me la vado a rileggere immediatamente! Grazie grazie grazie tante ! Sei stato molto gentile !
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