Esercizio successione

[JDM89]

Ciao a tutti, spero possiate aiutarmi a risolvere questo esercizio, probabilmente banale.
Se (an)>0 e (bn)>0 \( \forall \) n e se (an) è crescente e (bn) è decrescente, provare che an/bn è crescente.

[Seneca1]

Idee tue?

[DKant10]

(1) $a_n$ crescente significa che $a_(n+1)>=a_n$
(2) $b_n$ decrescente significa che $b_(n+1)<=b_n$

si deve provare che $a_(n+1)/b_(n+1)-a_n/b_n>=0$

$a_(n+1)/b_(n+1)-a_n/b_n =(a_(n+1)b_n-a_nb_(n+1))/(b_(n+1)b_n)$

il denominatore è sempre maggiore o uguale a 0 perché prodotto di numeri positivi (crf. ipotesi)

resta da provare che $a_(n+1)b_n-a_nb_(n+1)>=0$

prendo la (1) e moltiplico per $b_n$ e ottengo $b_na_(n+1)>=a_nb_n$

prendo la (2), moltiplico per $-a_n$ e ottengo $-a_nb_(n+1)>=-b_na_n$

sommo membro a membro le due disuguaglianze trovate. Da qui la tesi.

[JDM89]

"DKant10":(1) $a_n$ crescente significa che $a_(n+1)>=a_n$
(2) $b_n$ decrescente significa che $b_(n+1)<=b_n$

si deve provare che $a_(n+1)/b_(n+1)-a_n/b_n>=0$

$a_(n+1)/b_(n+1)-a_n/b_n =(a_(n+1)b_n-a_nb_(n+1))/(b_(n+1)b_n)$

il denominatore è sempre maggiore o uguale a 0 perché prodotto di numeri positivi (crf. ipotesi)

resta da provare che $a_(n+1)b_n-a_nb_(n+1)>=0$

prendo la (1) e moltiplico per $b_n$ e ottengo $b_na_(n+1)>=a_nb_n$

prendo la (2), moltiplico per $-a_n$ e ottengo $-a_nb_(n+1)>=-b_na_n$

sommo membro a membro le due disequazioni trovate. Da qui la tesi.

Grazie mille!!!