Esercizio su una serie di Fourier.
L'esercizio del quale non riesco a venire a capo, e per il quale mi farebbe piacere un aiutino per risolverlo è il seguente:
Consideriamo la serie
$\sum_{k=2}^\infty frac{1}{n^2 - n}e^{2\pi\i\kx}$
1) La serie converge uniformemente?
2) La serie converge puntualmente?
3) La serie è una serie di Fourier di qualche funzione? Se sì quale? Se no, perchè?
Per la domanda numero 1 ho risposto sì: con un test di weierstrass vedo che in valore assoluto la serie è minore o uguale di $\sum_{k=2}^\infty frac{1}{n^2 - n} $ che è convergente.
A maggior ragione converge puntualmente.
Su questo primo punto mi sbaglio? (credo di no)
Il problema viene al 3° punto.
Non riesco a capire cosa guardare per vedere se è effettivamente di fourier e di quale funzione.
Mi dareste una spintarella?
grazie 1000 in anticipo!
Consideriamo la serie
$\sum_{k=2}^\infty frac{1}{n^2 - n}e^{2\pi\i\kx}$
1) La serie converge uniformemente?
2) La serie converge puntualmente?
3) La serie è una serie di Fourier di qualche funzione? Se sì quale? Se no, perchè?
Per la domanda numero 1 ho risposto sì: con un test di weierstrass vedo che in valore assoluto la serie è minore o uguale di $\sum_{k=2}^\infty frac{1}{n^2 - n} $ che è convergente.
A maggior ragione converge puntualmente.
Su questo primo punto mi sbaglio? (credo di no)
Il problema viene al 3° punto.
Non riesco a capire cosa guardare per vedere se è effettivamente di fourier e di quale funzione.
Mi dareste una spintarella?
grazie 1000 in anticipo!
Risposte
Hai dimostrato che la serie converge uniformemente, quindi...
I coefficienti di fourier tendono a 0, con n tendente all'infinito, ok.
Converge uniformemente a una funzione, ok.
Ma quale? (l'ho vista con un software, è una funzione per la quale non riesco a capire come la si potrebbe scrivere in modo elementare)
Dovrei dare forse una risposta da capitan ovvio, dove dico che è la serie di Fourier della funzione a cui tendono le sue somme parziali?
Converge uniformemente a una funzione, ok.
Ma quale? (l'ho vista con un software, è una funzione per la quale non riesco a capire come la si potrebbe scrivere in modo elementare)
Dovrei dare forse una risposta da capitan ovvio, dove dico che è la serie di Fourier della funzione a cui tendono le sue somme parziali?
La serie è la serie di Fourier della sua somma.
E guarda che non sarebbe una risposta tanto scontata...
Ad ogni modo, noto che:
[tex]$\frac{1}{n^2-n} =\frac{1}{n-1} -\frac{1}{n}$[/tex],
sicché, ponendo [tex]$X=e^{2\pi \imath x}$[/tex], la tua serie diventa:
[tex]$\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n-1}\ X^n -\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n}\ X^n$[/tex],
che è una serie di potenze che si somma con qualche logaritmo; una volta trovata l'espressione della somma della serie ausiliaria, basta sostituire a ritroso [tex]$X=e^{2\pi \imath x}$[/tex] per avere la somma della tua serie di Fourier complessa.
Il fatto che ci sia un logaritmo di mezzo, però complica forse un po' le cose... Ci si deve pensare un po' su.
E guarda che non sarebbe una risposta tanto scontata...
Ad ogni modo, noto che:
[tex]$\frac{1}{n^2-n} =\frac{1}{n-1} -\frac{1}{n}$[/tex],
sicché, ponendo [tex]$X=e^{2\pi \imath x}$[/tex], la tua serie diventa:
[tex]$\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n-1}\ X^n -\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n}\ X^n$[/tex],
che è una serie di potenze che si somma con qualche logaritmo; una volta trovata l'espressione della somma della serie ausiliaria, basta sostituire a ritroso [tex]$X=e^{2\pi \imath x}$[/tex] per avere la somma della tua serie di Fourier complessa.
Il fatto che ci sia un logaritmo di mezzo, però complica forse un po' le cose... Ci si deve pensare un po' su.
ma per essere un logaritmo non dovrebbe avere il (-1)^n (per lo sviluppo di taylor del logaritmo)?
Comunque, intanto ti ringrazio per l'aiuto,
già che ci sono chiedo anche:
se la serie dell'esercizio fosse stata $\sum_{k=1}^\infty frac{1}{n}e^{2\pi\i\kx}$
Sapevo già che è una funzione a denti di sega,
ma non converge uniformemente.
Se non avessi saputo che era una funzione a denti di sega, da cosa avrei potuto dire che era una serie di fourier?
Provo a dare io una risposta, ma non sono sicuro che sia condizione sufficiente per essere una serie di Fourier, vorrei una conferma:
La somma al quadrato dei coefficienti di fourier è convergente. E in più si moltiplica con i termini del sistema trigonometrico $\{e^{2\pi\i\kx}}$
grazie
Comunque, intanto ti ringrazio per l'aiuto,
già che ci sono chiedo anche:
se la serie dell'esercizio fosse stata $\sum_{k=1}^\infty frac{1}{n}e^{2\pi\i\kx}$
Sapevo già che è una funzione a denti di sega,
ma non converge uniformemente.
Se non avessi saputo che era una funzione a denti di sega, da cosa avrei potuto dire che era una serie di fourier?
Provo a dare io una risposta, ma non sono sicuro che sia condizione sufficiente per essere una serie di Fourier, vorrei una conferma:
La somma al quadrato dei coefficienti di fourier è convergente. E in più si moltiplica con i termini del sistema trigonometrico $\{e^{2\pi\i\kx}}$
grazie
In quel caso che proponi la convergenza della serie è da intendersi nel senso della media quadratica, ossia in [tex]$L^2$[/tex], e non nel senso della convergenza puntuale.
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