Esercizio su una serie

[mariasurima]

Ho svolto questo esercizio...ma non so se ho scritto una serie di castronerie...qualcuno può controllarmelo?Ringrazio anticipatamente...

[Studente Anonimo]

Data una serie geometrica

[math]\begin{aligned}\sum_{n = n_0}^{+\infty} q^n\end{aligned}[/math]

sappiamo convergere per

[math]|q| < 1[/math]

e in tal
caso la somma è pari a

[math]\frac{q^{n_0}}{1 - q}[/math]

, divergere rispetto a

[math]+\infty[/math]

per

[math]q \ge 1[/math]

ed essere
indeterminata per

[math]q \le -1\\[/math]

.


Nel caso in oggetto, essendo

[math]n_0 = 2[/math]

e

[math]q = \frac{3\,e^{-k} + 4}{e^k + 2}[/math]

, nel caso in cui

[math]|q| < 1 \; \Leftrightarrow \; k > \log(3)[/math]

tale serie converge a

[math]\frac{q^{n_0}}{1 - q} = \frac{e^{-k}\,\left(4\,e^k + 3\right)^2}{e^{3k} - 7\,e^k - 6}\\[/math]

.


In conclusione, alcune considerazioni "tecniche" sulla risoluzione di tale di-
sequazioncina. Notando che sia numeratore che denominatore di

[math]q[/math]

sono
strettamente positivi, segue che

[math]|q| < 1 \; \Leftrightarrow \; 3\,e^{-k} + 4 < e^k + 2[/math]

e an-
cora, moltiplicando ambo i membri per

[math]e^k[/math]

(lecito in quanto trattasi di una
quantità strettamente positiva) si ottiene

[math]e^{2k} - 2\,e^k - 3 > 0[/math]

. Non rimane
che fattorizzare:

[math]\left(e^k + 1\right)\left(e^k - 3\right) > 0[/math]

e concludere:

[math]k > \log(3)\\[/math]

.


Tutto qui. ;)

[mariasurima]

Caro TeM...credo di aver capito la tua correzione...infatti ho modificato il mio esercizio...quando poi sono andata a calcolare la somma, mi sono persa nei calcoli...uffy...

[Studente Anonimo]

Dunque, sulla risoluzione della disequazione vedasi sopra,
mentre per la semplificazione della somma, si ottiene:

[math]
\begin{aligned}
\frac{q^{n_0}}{1 - q}
& = \frac{\left(\frac{3\,e^{-k} + 4}{e^k + 2}\right)^2}{1 - \frac{3\,e^{-k} + 4}{e^k + 2}} \\
& = \frac{\frac{\left(3\,e^{-k} + 4\right)^2}{\left(e^k + 2\right)^2}}{\frac{e^k - 3\,e^{-k} - 2}{e^k + 2}} \\
& = \frac{e^k\,\left(3\,e^{-k} + 4\right)^2}{\left(e^k + 2\right)\left(e^{2k} - 2\,e^k - 3\right)} \\
& = \frac{e^{-k}\,\left(4\,e^k + 3\right)^2}{e^{3k} - 7\,e^k - 6} \; .
\end{aligned} \\
[/math]

Tutto qui. ;)