Esercizio su una funzione derivabile in un intervallo
Mi servirebbe aiuto con questo esercizio:
Siano I un intervallo aperto ed f:I--->R una funzione derivabile in I. Dimostrare che:
f'(x)=0 ∀ x ∈ I allora f è costante in I.
L'ipotesi che I sia un intervallo è essenziale?
Siano I un intervallo aperto ed f:I--->R una funzione derivabile in I. Dimostrare che:
f'(x)=0 ∀ x ∈ I allora f è costante in I.
L'ipotesi che I sia un intervallo è essenziale?
Risposte
Ecco come farei io:
Considero x_1, x_2 appartenenti all'intervallo I
Posso dunque usare il risultato del teorema di lagrange, ovvero $(f(x_1)-f(x_2))/(x_1-x_2) = f'(x)$ (credo che l'ipotesi che sia un intervallo sia fondamentale per usare proprio questo teorema)
Ma per ipotesi sappiamo che $f'(x)=0$ per ogni x di I, ne consegue che $f(x_1)-f(x_2)=0$ per ogni $x_1, x_2$ scelti, dunque $f(x_1)=f(x_2)$ e $f(x)$ è costante in tutto I
Considero x_1, x_2 appartenenti all'intervallo I
Posso dunque usare il risultato del teorema di lagrange, ovvero $(f(x_1)-f(x_2))/(x_1-x_2) = f'(x)$ (credo che l'ipotesi che sia un intervallo sia fondamentale per usare proprio questo teorema)
Ma per ipotesi sappiamo che $f'(x)=0$ per ogni x di I, ne consegue che $f(x_1)-f(x_2)=0$ per ogni $x_1, x_2$ scelti, dunque $f(x_1)=f(x_2)$ e $f(x)$ è costante in tutto I
Grazie mille!
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