Esercizio su un limite (analisi1)

[dargo1]

Ciao ragazzi, vorrei chiedervi un aiuto su questo limite che non riesco proprio a capire.

$lim_(n->∞) n/2*(-3/4)^n$
Il risultato dovrebbe venire zero, ma non capisco proprio come faccia.

Ho pensato di scriverlo

$lim_(n->∞) (n*(-3)^n)/4^n$
E a parte il segno che me lo fa "oscillare" a seconda che n sia positivo o negatio mi accorgo che anche fosse

$(n*(3)^n)/4^n$

non saprei trattarlo con il confronto di infiniti, infatti se fosse

$(3)^n/4^n$

andrei a colpo sicuro perché l'infinito è di gerarchia superiore a denominatore ma avendo un $n*(3)^n$ al numeratore mi sballa ogni ragionamento.

Non capisco come trattarlo
Grazie

[Mephlip]

Potresti provare a considerarne il valore assoluto e applicare un criterio della radice/criterio del rapporto, per poi concludere con il teorema dei due carabinieri.

[dargo1]

Credo di non aver capito, in realtà il mio dubbio è sul limite.

Potrei anche estenderlo al caso in R
$lim_(x->∞) x/2*(3/4)^x=?$

Con ?=0 per soluzione del libro

[Mephlip]

Occhio al caso in $\mathbb{R}$, che significa $\left(- \frac{3}{4}\right)^x$?
Diciamo che per le successioni puoi procedere come detto prima: hai che $|a_n|=|\frac{n}{2} \left(-\frac{3}{4}\right)^n|$, inoltre
$$0 \leq \left|\frac{n}{2} \left(-\frac{3}{4}\right)^n \right|=\frac{n}{2} \left(\frac{3}{4}\right)^n$$
Ora puoi provare ad applicare uno dei criteri detti prima (che porta a un limite, ossia al tuo), cosa succede?

[dargo1]

Ora ragiono sulla tua risposta, grazie .

Per la tua correzione hai ragione non ha senso, ho sbagliato a copiare senza togliere il meno!
Il dubbio era: $lim_(x->∞) x/2*(3/4)^x=?$
Come spiegavo il confronto di infiniti e loro ordine non funziona e dato che non è una mappa N->R non è una successione, quindi non potrei usare l'idea precedente.

[Mephlip]

C'è un teorema chiamato teorema ponte (o criterio successioni-funzioni) se gli dai un'occhiata ti dovrebbe risolvere anche il dubbio del caso in $\mathbb{R}$.

[dargo1]

Uff hai ragionee lo conosco pure quel teorema, sono completamente incapace di sfruttare le cose studiate .

Ho provato con il ciriterio della radice, detto questo ho trovato che la serie dei moduli di quella iniziale converge, infatti ottego come risultato: $3/(sqrt2*4)$.
So inoltre che vale l'implicazione "se la serie dei moduli converge (ossia è assolutamente convergente) => converge anche la serie di partenza"
Bene ora so che ha valore finito tale limite, ma come mostro partendo da $3/(sqrt2*4)$ che vale zero?
Scusa la stupidità, ma voglio arrivare a capirci qualcosa

[Mephlip]

Attenzione che il criterio della radice a cui mi riferisco è quello per successioni e non quello per serie (in realtà si fa la stessa cosa ma le conclusioni sono diverse, innanzitutto perché qui una serie non c'è e poi perché qui ti dà informazioni sul risultato del limite ).
A me il limite della radice $n$-esima risulta $\frac{3}{4}$ comunque, puoi scrivere i tuoi calcoli almeno li rivediamo insieme?
In buona sostanza, il criterio della radice ti dice che se hai una successione $a_n$ a termini definitivamente positivi e il limite
$$\lim_{n\to +\infty} (a_n)^{\frac{1}{n}}=l$$
Risulta che $a_n \to +\infty$ se $l>1$, $a_n \to 0$ se $0 $$0 \leq \lim_{n\to +\infty} \left|\frac{n}{2} \left(-\frac{3}{4}\right)^n \right|=\lim_{n\to +\infty} \frac{n}{2} \left(\frac{3}{4}\right)^n = 0$$
Dove l'ultimo limite fa appunto $0$ per il criterio della radice. Come concludi?

[dargo1]

Facendolo di fretta a mente per rispondere ho sbagliato: $lim_(n->+∞) 3/4*(n^(1/n)/2^(1/n))$ e usando l'algebra dei limiti spezzo in rapporto di limiti..
Cioè analizzando num. e den. $lim_(n->+∞) n^(1/n)=1$ e $lim_(n->+∞) 2^(1/n)=2^0=1$ quindi il risultato è $3/4*1/1$
Spero sia corretto

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Per la conclusione direi che $|\frac{n}{2} \left(-\frac{3}{4}\right)^n|$ per il thm del confronto vale zero.
Inoltre la funzione modulo è zero solo e solo se il suo argomento è identicamente nullo. Dunque $\frac{n}{2} \left(-\frac{3}{4}\right)^n=0$?

[Mephlip]

Giusto il limite, giusto che per il teorema dei due carabinieri vale zero $|a_n|$, rimane solo un dettaglio: $a_n \to 0$ se e solo se $|a_n|\to 0$.

[dargo1]

Giusto, questo perché per ogni $\epsilon>0$ esiste un $N$ tale che per ogni $n>N$ si ha $||x_n|-0|=||x_n||=|x_n|=|x_n-0|<\epsilon$