Esercizio su un integrale definito
Ciao ragazzi non saprei come integrare questa funzione.
$\int_{-\pi}^{pi}sqrt(3-2rcos\theta-r^2)d\theta$
Mi trovo in difficoltà a dover integrare $f(x)^n$ non essendo una semplice $x^n$
Grazie in anticipo per l'aiuto
$\int_{-\pi}^{pi}sqrt(3-2rcos\theta-r^2)d\theta$
Mi trovo in difficoltà a dover integrare $f(x)^n$ non essendo una semplice $x^n$
Grazie in anticipo per l'aiuto
Risposte
Da dove esce l'integrale?
Lunghezza di una curva?
Lunghezza di una curva?
Un disco D di raggio 1 e centro (0,1)
"smule98":
Un disco D di raggio 1 e centro (0,1)
Cosa?
Ho trasformato l'integrale doppio dato usando le coordinate polari.
$\int int_{D}sqrt(4-x^2-y^2)dxdy$ sul disco D del piano x-y di centro $(0,1)$ e raggio 1
$\int int_{D}sqrt(4-x^2-y^2)dxdy$ sul disco D del piano x-y di centro $(0,1)$ e raggio 1
Che cambio di variabili in coordinate polari hai fatto?
Se è uno con polo non centrato nell'origine secondo me non ti conviene.
L'insieme viene bene ma la funzione integranda è proibitiva (o addirittura non elementarmente integrabile), quindi secondo me conviene un cambiamento in coordinate polari con polo nell'origine e non con polo nel centro della circonferenza.
Con il polo nell'origine hai $-x^2-y^2=-r^2$, l'insieme di integrazione è un po' più brutto ma dovrebbe funzionare.
Tra l'altro manca pure il modulo del determinante della matrice jacobiana...
Edit: Avevo scritto "probitivo" anziché proibitivo
Se è uno con polo non centrato nell'origine secondo me non ti conviene.
L'insieme viene bene ma la funzione integranda è proibitiva (o addirittura non elementarmente integrabile), quindi secondo me conviene un cambiamento in coordinate polari con polo nell'origine e non con polo nel centro della circonferenza.
Con il polo nell'origine hai $-x^2-y^2=-r^2$, l'insieme di integrazione è un po' più brutto ma dovrebbe funzionare.
Tra l'altro manca pure il modulo del determinante della matrice jacobiana...
Edit: Avevo scritto "probitivo" anziché proibitivo
Hai ragione Mephlip.
L'insieme di integrazione non è tanto brutto, o almeno non dovrebbe.
L'insieme di integrazione non è tanto brutto, o almeno non dovrebbe.
[ot]Gugo ma come si fa ad aggiungere le motivazioni delle modifiche in fondo al messaggio come fai nel primo messaggio di questo post? Si può o possono solo i moderatori? Grazie![/ot]
@ Mephlip:
[ot]Quando modifico i post c'è un rigo nella tab "Opzioni" (in basso, sotto il riquadro del testo) con l'etichetta "Motivo della modifica del messaggio".
Non so se è un privilegio da moderatore... Lo sono da così tanto che non ricordo com'è l'interfaccia utente normale.
[/ot]
[ot]Quando modifico i post c'è un rigo nella tab "Opzioni" (in basso, sotto il riquadro del testo) con l'etichetta "Motivo della modifica del messaggio".
Non so se è un privilegio da moderatore... Lo sono da così tanto che non ricordo com'è l'interfaccia utente normale.
[/ot]
@gugo82:
[ot]Non ce l'ho, sembra che sia un privilegio da moderatore peccato, è molto più ordinato così, me ne farò una ragione 
[/ot]
[ot]Non ce l'ho, sembra che sia un privilegio da moderatore
peccato, è molto più ordinato così, me ne farò una ragione [/ot]
Ciao smule98,
Quindi se ho capito bene l'integrale doppio proposto è il seguente:
$ \int int_D sqrt(4-x^2-y^2)\text{d}x\text{d}y $
ove $D := {(x,y) \in \RR^2 : x^2 + (y - 1)^2 <= 1} $
Ricordando che l'equazione di una sfera è $x^2 + y^2 + z^2 <= 4a^2 $, nel caso in esame si tratta di calcolare il volume dell’intersezione del cilindro di equazione $x^2 + y^2 <= 2ay $ e della semisfera $ z = f(x,y) <= sqrt{4a^2 - x^2 - y^2} $ con $a = 1 $. Prima di tutto si può osservare che per ragioni di simmetria sarà sufficiente calcolare 2 volte il volume contenuto nel primo ottante, ossia per $x, y, z >= 0 $:
$V = 2 \int \int_{D_{>=0}}\sqrt(4a^2 - x^2 - y^2)\text{d}x\text{d}y $
A questo punto conviene fare uso delle coordinate polari centrate nell'origine in modo tale che invece di integrare la funzione $f(x, y) $ sull’insieme $D_{>=0} $ si integra la funzione $f(\rho; \theta) = \sqrt{4a^2 - \rho^2} $ sull’insieme
$\Phi^{-1}(D_{>=0}) = {(\rho, \theta): 0 <= \theta <= \pi/2, 0 <= \rho <= 2a sin\theta} $
Quindi ricordando lo jacobiano della trasformazione si ha:
$V = 2 \int int_{D_{>=0}}\sqrt(4a^2 - x^2 - y^2)\text{d}x\text{d}y = 2 \int\int_{\Phi^{-1}(D_{>=0})} \sqrt{4a^2 - \rho^2}\rho \text{d}\rho\text{d}\theta = $
$ = \int_0^{\pi/2}(\int_0^{2a sin\theta} \sqrt{4a^2 - \rho^2}\text{d}(\rho^2))\text{d}\theta =... $
Quindi se ho capito bene l'integrale doppio proposto è il seguente:
$ \int int_D sqrt(4-x^2-y^2)\text{d}x\text{d}y $
ove $D := {(x,y) \in \RR^2 : x^2 + (y - 1)^2 <= 1} $
Ricordando che l'equazione di una sfera è $x^2 + y^2 + z^2 <= 4a^2 $, nel caso in esame si tratta di calcolare il volume dell’intersezione del cilindro di equazione $x^2 + y^2 <= 2ay $ e della semisfera $ z = f(x,y) <= sqrt{4a^2 - x^2 - y^2} $ con $a = 1 $. Prima di tutto si può osservare che per ragioni di simmetria sarà sufficiente calcolare 2 volte il volume contenuto nel primo ottante, ossia per $x, y, z >= 0 $:
$V = 2 \int \int_{D_{>=0}}\sqrt(4a^2 - x^2 - y^2)\text{d}x\text{d}y $
A questo punto conviene fare uso delle coordinate polari centrate nell'origine in modo tale che invece di integrare la funzione $f(x, y) $ sull’insieme $D_{>=0} $ si integra la funzione $f(\rho; \theta) = \sqrt{4a^2 - \rho^2} $ sull’insieme
$\Phi^{-1}(D_{>=0}) = {(\rho, \theta): 0 <= \theta <= \pi/2, 0 <= \rho <= 2a sin\theta} $
Quindi ricordando lo jacobiano della trasformazione si ha:
$V = 2 \int int_{D_{>=0}}\sqrt(4a^2 - x^2 - y^2)\text{d}x\text{d}y = 2 \int\int_{\Phi^{-1}(D_{>=0})} \sqrt{4a^2 - \rho^2}\rho \text{d}\rho\text{d}\theta = $
$ = \int_0^{\pi/2}(\int_0^{2a sin\theta} \sqrt{4a^2 - \rho^2}\text{d}(\rho^2))\text{d}\theta =... $
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