Esercizio su Taylor

[Maryse1]

Data la funzione $ f(x)=log(1+|x^2+1|) $
1- stabilire in quali punti la funzione ammette un polinomio di Taylor di ord n
2- al variare di $alpha in R$ dire se $ f(x)-alphax^2 $ ha massimo o minimo in 0.

Per quanto riguarda il secondo punto non penso di avere problemi, basta vedere che si annulla la derivata prima in 0, e che quindi è un punto stazionario e poi studiare il segno della derivata prima, se è >0 allora è un minimo se è <0 allora è un massimo. Per il primo punto, come si agisce in generale..? cioè io devo verificare che in quel tale punto la funzione è derivabile n volte se voglio un polinomio di Taylor di ord n..

[21zuclo]

bé Taylor gioca sulle derivate..

in generale il polinomio di Taylor è $ f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+...+f^(n)((x-x_0)^n)/(n!)+o((x-x_0)^n) $

però è il polinomio di Taylor centrato nel punto $x_0$ di ordine n

cosa che nel tuo testo manca..

[Maryse1]

è io devo stabilire in questo caso in quali punti lo ammette

[Epimenide93]

Direi che è un modo equivalente per chiedere di studiare gli ordini massimi delle derivate puntuali della funzione. Comincia a considerare quante volte la funzione è derivabile con continuità sull'insieme di definizione... e in questo caso direi che poi non devi andare tanto lontano.

[Maryse1]

La funzione in questo caso, è sempre derivabile sul suo insieme di definizione

[Epimenide93]

Esattamente, infinite volte, quindi per ogni $x$ nell'insieme di definizione e per ogni $n$ esiste un polinomio di Taylor di ordine $n$ che approssima la funzione in $x$.

[Maryse1]

Capito grazie mille
ad esempio vale la stessa cosa anche per questo?

Data la funzione f(x) = $ |xlog(1+x)| $ stabilire per quali n esiste il polinomio di Taylor in 0.