Esercizio su superficie di rotazione,circuitazione,flusso di un campo vettoriale
Buonasera ragazzi, avrei bisogno del vostro aiuto per qualche delucidazione su questo esercizio tratto da una prova d'esame di Analisi Matematica 2 dalla facoltà di ingegneria elettronica, fra qualche giorno ho l'esame e vorrei sciogliere gli ultimi dubbi.
Sia S la superficie ottenuta facendo ruotate di un angolo piatto la retta di equazione z=1-x con 1<=x<=3 intorno all'asse z, sia S orientata in modo che la terza componente della normale ad essa sia positiva.
Si consideri inoltre il campo vettoriale F(x,y,z)=(x,y,xz)
risolvere i seguenti punti :
1)determinare l'Area di S e scrivere il piano tangente ad S nel punto P(√2,√2-1);
2)Calcolare il flusso di F attraverso S;
3)Calcolare la circuitazione di F lungo il bordo di S(dS);
Ho provato ad impostare il primo punto e da quanto ho capito, la figura dovrebbe essere un semicono con vertice nel punto (1,0,0). Ho provato a calcolare l'area della superficie generata dalla rotazione della retta secondo il teorema di Guldino e sono giunto al risultato 4π√2, ma adesso non sono più in grado di continuare e ho dei forti dubbi anche sulla figura...vi ringrazio per l'attenzione in anticipo !
Sia S la superficie ottenuta facendo ruotate di un angolo piatto la retta di equazione z=1-x con 1<=x<=3 intorno all'asse z, sia S orientata in modo che la terza componente della normale ad essa sia positiva.
Si consideri inoltre il campo vettoriale F(x,y,z)=(x,y,xz)
risolvere i seguenti punti :
1)determinare l'Area di S e scrivere il piano tangente ad S nel punto P(√2,√2-1);
2)Calcolare il flusso di F attraverso S;
3)Calcolare la circuitazione di F lungo il bordo di S(dS);
Ho provato ad impostare il primo punto e da quanto ho capito, la figura dovrebbe essere un semicono con vertice nel punto (1,0,0). Ho provato a calcolare l'area della superficie generata dalla rotazione della retta secondo il teorema di Guldino e sono giunto al risultato 4π√2, ma adesso non sono più in grado di continuare e ho dei forti dubbi anche sulla figura...vi ringrazio per l'attenzione in anticipo !
Risposte
ciao mi sono imbattuto nello stesso esercizio e non ho capito bene come risolverlo.
1. Per il calcolo dell' Area ho utlizzato questa formula ( vista sul Fusco Marcellini Sbordone ):
$A = 2pi$$\int_{a}^{b} x\sqrt{1 +(f'(x))^2} dx$
lo posso fare?
1'. Per il calcolo del piano tangente non ho capito bene come funziona la formula scirtta , io ho sempre utilizzata questa :
$ z-f(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0). $
ma non so come applicarla.
grazie mille per l attezione
1. Per il calcolo dell' Area ho utlizzato questa formula ( vista sul Fusco Marcellini Sbordone ):
$A = 2pi$$\int_{a}^{b} x\sqrt{1 +(f'(x))^2} dx$
lo posso fare?
1'. Per il calcolo del piano tangente non ho capito bene come funziona la formula scirtta , io ho sempre utilizzata questa :
$ z-f(x_0,y_0)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)(y-y_0). $
ma non so come applicarla.
grazie mille per l attezione
Nel mio caso la cura \( \Gamma \) ha equazioni \[ \begin{cases} x = x \\ y = 0 \\ z = f(x) \end{cases} \; \; \; \text{per} \; x \in [a,\,b] \]
la superficie \( \Sigma \) ottenuta ruotando \( \Gamma \) attorno all'asse $ z $ ha equazioni paramentriche:
\[ \begin{cases} x = x\,\cos\theta \\ z = f(x) \\ y = x\,\sin\theta \end{cases} \; \; \; \text{per} \; (x,\,\theta) \in [a,\,b] \times [0,\,2\pi)\,. \]
Il vettore normale è dato da:
$ N = sqrt((A)^2 +(B)^2+(C)^2) $
dove :
$A = x[f'(x)]sentheta$
$B = x[f'(x)]costheta $
$C = x$
sono i determinati minori della matrice jacobiana .
Applicando la definzione di Area di una Superficie:
$int int_(D)sqrt(A^2+B^2+C^2 )dx dy = 2piint_ x x sqrt(f'(x)+1) dx = sqrt(2)pi8$
E' giusto ?
la superficie \( \Sigma \) ottenuta ruotando \( \Gamma \) attorno all'asse $ z $ ha equazioni paramentriche:
\[ \begin{cases} x = x\,\cos\theta \\ z = f(x) \\ y = x\,\sin\theta \end{cases} \; \; \; \text{per} \; (x,\,\theta) \in [a,\,b] \times [0,\,2\pi)\,. \]
Il vettore normale è dato da:
$ N = sqrt((A)^2 +(B)^2+(C)^2) $
dove :
$A = x[f'(x)]sentheta$
$B = x[f'(x)]costheta $
$C = x$
sono i determinati minori della matrice jacobiana .
Applicando la definzione di Area di una Superficie:
$int int_(D)sqrt(A^2+B^2+C^2 )dx dy = 2piint_ x x sqrt(f'(x)+1) dx = sqrt(2)pi8$
E' giusto ?
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