Esercizio su successioni convergenti
Tema di Analisi 1, unimi, 16 gen 2012.
Siano $ { a_n } $ e $ { b_n } $ due successioni di numeri reali, la prima convergente e la seconda limitata. Inoltre $ b_(n+1) >= b_n + a_(n+1)- a_n $ . Mostrare che anche $ { b_n } $ è convergente.
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Posso avere un confronto sullo svolgimento?
Essendo convergente, $ { a_n } $ è anche fondamentale, ovvero $ AA \epsilon > 0 EE N(\epsilon)$ t.c. $|a_m- a_n| < \epsilon$ $ AA n, m > N(\epsilon) $ . In particolare $|a_(n+1)- a_n| < \epsilon$.
1° caso. Nell'ipotesi $ |b_(n+1)-b_n| <= |a_(n+1)-a_n| < \epsilon $, segue$ |b_(n+1)-b_n|< \epsilon $, cioè $ { b_n } $ è fondamentale. Per il criterio di Cauchy, $ { b_n } $ è anche convergente.
2° caso. Supponiamo invece $ |b_(n+1)-b_n| >= |a_(n+1)-a_n|$ .
Essendo $ { a_n } $ fondamentale, $AA \epsilon>0, |a_(n+1)-a_n|<\epsilon $. In particolare scelgo $ \epsilon >|b_(n+1) - b_n| $ (il fatto che $ { b_n } $ sia limitata garantisce che si possa scegliere questo $\epsilon >|b_(n+1) - b_n| $).
$ |a_(n+1)-b_n| <= |b_(n+1)-b_n| < \epsilon$, quindi.... quindi niente....non va bene. Inoltre non ho usato l'ipotesi data, $ b_(n+1) >= b_n + a_(n+1)- a_n $. Come fareste voi questo esercizio?
Siano $ { a_n } $ e $ { b_n } $ due successioni di numeri reali, la prima convergente e la seconda limitata. Inoltre $ b_(n+1) >= b_n + a_(n+1)- a_n $ . Mostrare che anche $ { b_n } $ è convergente.
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Posso avere un confronto sullo svolgimento?
Essendo convergente, $ { a_n } $ è anche fondamentale, ovvero $ AA \epsilon > 0 EE N(\epsilon)$ t.c. $|a_m- a_n| < \epsilon$ $ AA n, m > N(\epsilon) $ . In particolare $|a_(n+1)- a_n| < \epsilon$.
1° caso. Nell'ipotesi $ |b_(n+1)-b_n| <= |a_(n+1)-a_n| < \epsilon $, segue$ |b_(n+1)-b_n|< \epsilon $, cioè $ { b_n } $ è fondamentale. Per il criterio di Cauchy, $ { b_n } $ è anche convergente.
2° caso. Supponiamo invece $ |b_(n+1)-b_n| >= |a_(n+1)-a_n|$ .
Essendo $ { a_n } $ fondamentale, $AA \epsilon>0, |a_(n+1)-a_n|<\epsilon $. In particolare scelgo $ \epsilon >|b_(n+1) - b_n| $ (il fatto che $ { b_n } $ sia limitata garantisce che si possa scegliere questo $\epsilon >|b_(n+1) - b_n| $).
$ |a_(n+1)-b_n| <= |b_(n+1)-b_n| < \epsilon$, quindi.... quindi niente....non va bene. Inoltre non ho usato l'ipotesi data, $ b_(n+1) >= b_n + a_(n+1)- a_n $. Come fareste voi questo esercizio?
Risposte
Ciao!
Tralasciando il fatto che la suddivisione in casi da te realizzata non copre il novero di tutte le eventualità possibili
(in particolar modo direi come ci sia un vizio di forma all'inizio del secondo,
perchè ancora ancora nel primo non mi pare ti si possa dar torto..),
t'invito a notare come dalle tue hp potrai dedurre immediatamente che,
posto per comodità di notazione $c_n=b_n-a_n$ $AAn in NN$ e $lim_(n to oo)a_n=l$($in RR$,per ipotesi..),
la ${c_n}_(n in NN)$ sarà non decrescente e dunque tenderà al suo estremo superiore;
ma esso non potrà essere $+oo$ perchè,altrimenti,$EElim_(n to oo)(c_n+a_n)=lim_(n to oo)b_n=$"$+oo+l$"$=+oo$,
in aperto contrasto con l'hp di limitatezza della ${b_n}_(n in NN)$:
detto allora m($inRR$..)tale estremo superiore,avremo che $EElim_(n to oo)(c_n+a_n)=cdotsrArrcdots$.
Saluti dal web.
Tralasciando il fatto che la suddivisione in casi da te realizzata non copre il novero di tutte le eventualità possibili
(in particolar modo direi come ci sia un vizio di forma all'inizio del secondo,
perchè ancora ancora nel primo non mi pare ti si possa dar torto..),
t'invito a notare come dalle tue hp potrai dedurre immediatamente che,
posto per comodità di notazione $c_n=b_n-a_n$ $AAn in NN$ e $lim_(n to oo)a_n=l$($in RR$,per ipotesi..),
la ${c_n}_(n in NN)$ sarà non decrescente e dunque tenderà al suo estremo superiore;
ma esso non potrà essere $+oo$ perchè,altrimenti,$EElim_(n to oo)(c_n+a_n)=lim_(n to oo)b_n=$"$+oo+l$"$=+oo$,
in aperto contrasto con l'hp di limitatezza della ${b_n}_(n in NN)$:
detto allora m($inRR$..)tale estremo superiore,avremo che $EElim_(n to oo)(c_n+a_n)=cdotsrArrcdots$.
Saluti dal web.
\( b_{n+1}-a_{n+1} \geq b_n-a_n\), quindi la successione \( b_n-a_n\) è monotona e limitata e dunque è anche convergente;
\( b_n= a_n+(b_n-a_n) \) e la successione \(b_n \) converge essendo la somma di due successioni convergenti.
\( b_n= a_n+(b_n-a_n) \) e la successione \(b_n \) converge essendo la somma di due successioni convergenti.
Grazie per le risposte chiarissime 
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