Esercizio su spazi normati
Ciao ragazzi ho un dubbio su questo esercizio!
Dice:
Si consideri il seguente spazio di successioni:
$ c_K = {a = {a_n}_(ninmathbb(N)); a_ninmathbb(C); a_n != 0 $ solo per un numero finito di elementi $ } $
Si dimostri che $c_K $ è uno spazio normato NON completo con la norma:
\( ||a_n|| = sup |a_n| \)
Nella risuluzione dell'esercizio, il libro dice:
Se consideriamo la successione $ {a^(N)} $ di elementi di $ c_K $ con
$ a^((N)) = (1,1/2,...,1/N,0,0,...) $ essa è una successione di cauchy :
$ ||a^((N))-a^((M))|| = max {1/(N+1),1/(M+1)}\rarr 0 $ per N,M che tendono ad infinito.
Ma la successione limite $ a = (1,1/2,...,1/N,1/(N+1),...) $ non appartiene a $ c_K $ .
Sapreste spiegarmi perchè non appartiene a cK?? non riesco a capire...
Grazie per l'aiuto !
Dice:
Si consideri il seguente spazio di successioni:
$ c_K = {a = {a_n}_(ninmathbb(N)); a_ninmathbb(C); a_n != 0 $ solo per un numero finito di elementi $ } $
Si dimostri che $c_K $ è uno spazio normato NON completo con la norma:
\( ||a_n|| = sup |a_n| \)
Nella risuluzione dell'esercizio, il libro dice:
Se consideriamo la successione $ {a^(N)} $ di elementi di $ c_K $ con
$ a^((N)) = (1,1/2,...,1/N,0,0,...) $ essa è una successione di cauchy :
$ ||a^((N))-a^((M))|| = max {1/(N+1),1/(M+1)}\rarr 0 $ per N,M che tendono ad infinito.
Ma la successione limite $ a = (1,1/2,...,1/N,1/(N+1),...) $ non appartiene a $ c_K $ .
Sapreste spiegarmi perchè non appartiene a cK?? non riesco a capire...
Grazie per l'aiuto !
Risposte
Per definizione, \(c_K\) è lo spazio delle successioni definitivamente nulle.
La successione \(a\) ha invece tutti i termini non nulli.
La successione \(a\) ha invece tutti i termini non nulli.
però anche $ a^(N) $ dovrebbe avere tutti i termini non nulli..
"fede16":
però anche $ a^(N) $ dovrebbe avere tutti i termini non nulli..
\(a^N\) ha non nulli solo i primi \(N\) termini: quelli dal posto \(N+1\) in poi sono tutti nulli (l'hai scritto tu stesso nella definizione di \(a^N\)).
ok perfetto!! grazie rigel !!
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