Esercizio su sottospazio chiuso di funzioni.
Salve a tutti.
Ho questo esercizio e non so che pesci prendere quindi mi servirebbe un aiuto se potete.
Sia $(X,d)$ uno spazio metrico localmente compatto.
Provare che l'insieme $C_{0}(X)$ di tutte le funzioni $f in C_{b}(X)$ (di tutte le funzioni continue e limitate) tali che, per ogni $\epsilon > 0$, l'insieme $\{ x in X | |f(x)| >= \epsilon \}$ è compatto,
è un sottospazio chiuso di $C_{b}(X)$ (e quindi è uno spazio di Banach)
Inizierei con il provare che è effettivamente un sottospazio, e poi cercherei di mostrare che le successioni di cauchy convergono lì dentro, ma non mi viene in mente come fare.
Anche solo per dimostrare che $\alpha*f in C_{0}(X)$ per ogni $f in C_{0}(X)$ io direi che "Lo vedo" ma non so formalizzarlo.
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Ho questo esercizio e non so che pesci prendere quindi mi servirebbe un aiuto se potete.
Sia $(X,d)$ uno spazio metrico localmente compatto.
Provare che l'insieme $C_{0}(X)$ di tutte le funzioni $f in C_{b}(X)$ (di tutte le funzioni continue e limitate) tali che, per ogni $\epsilon > 0$, l'insieme $\{ x in X | |f(x)| >= \epsilon \}$ è compatto,
è un sottospazio chiuso di $C_{b}(X)$ (e quindi è uno spazio di Banach)
Inizierei con il provare che è effettivamente un sottospazio, e poi cercherei di mostrare che le successioni di cauchy convergono lì dentro, ma non mi viene in mente come fare.
Anche solo per dimostrare che $\alpha*f in C_{0}(X)$ per ogni $f in C_{0}(X)$ io direi che "Lo vedo" ma non so formalizzarlo.
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Risposte
"boulayo":
Anche solo per dimostrare che $ \alpha*f in C_{0}(X) $ per ogni $ f in C_{0}(X) $ io direi che "Lo vedo" ma non so formalizzarlo.
Sia \(f\in C_0\) e \(\alpha\in\mathbb{R}\); se \(\alpha = 0\) non ci sono particolari problemi a dimostrare che \(\alpha f\in C_0\), quindi possiamo supporre \(\alpha\neq 0\).
Sia \(\epsilon > 0\); abbiamo che
\[
\{x\in X:\ |\alpha f(x)| \geq \epsilon\} =
\{x\in X:\ |f(x)| \geq \epsilon / |\alpha|\},
\]
e quest'ultimo insieme è compatto poiché \(f\in C_0\).
Ora che me lo dici mi sembra naturale.
Ma ancora non capisco come faccio per $f+g$ con $f,g in C_{0}(X)$
Intuisco che dovrei mostrare che
${x in X : |f+g|>= \epsilon} sub$ in qualche altro insieme compatto.
E poi dovrei anche mostrare che è chiuso (e anche qui a occhio lo vedo e capisco che è per la continuità delle funzioni) ma anche qui non intuisco come fare
Ma ancora non capisco come faccio per $f+g$ con $f,g in C_{0}(X)$
Intuisco che dovrei mostrare che
${x in X : |f+g|>= \epsilon} sub$ in qualche altro insieme compatto.
E poi dovrei anche mostrare che è chiuso (e anche qui a occhio lo vedo e capisco che è per la continuità delle funzioni) ma anche qui non intuisco come fare
"boulayo":
Ora che me lo dici mi sembra naturale.
Ma ancora non capisco come faccio per $f+g$ con $f,g in C_{0}(X)$
Intuisco che dovrei mostrare che
${x in X : |f+g|>= \epsilon} sub$ in qualche altro insieme compatto.
E poi dovrei anche mostrare che è chiuso (e anche qui a occhio lo vedo e capisco che è per la continuità delle funzioni) ma anche qui non intuisco come fare
Visto che le cose le intuisci, cerca di formalizzarle (anche per tentativi).
Ad esempio, sai che \(|f(x) + g(x)| \leq |f(x)| + |g(x)|\), quindi
\[
\{x\in X:\ |f(x)+g(x)| \geq \epsilon\} \subseteq \{x\in X:\ |f(x)| + |g(x)| \geq \epsilon\}.
\]
Per quanto riguarda la chiusura, puoi dimostrare che se \(f\) è una funzione continua, allora anche \(|f|\) è continua, dunque gli insiemi \(\{|f| \geq \epsilon\}\), \(\{|f| \leq \epsilon\}\), \(\{|f| = \epsilon\}\) sono chiusi.
Ma come vedo che l'insieme $\{x in X : |f(x)| + |g(x)|>= \epsilon\}$ è compatto?
Per quanto riguarda la chiusura del sottospazio $C_{0}(X)$ osservo che se $f_n in C_{0}(X)$ e $f_n$ è di cauchy allora converge ad una certa $f in C_{b}(X)$.
e da un certo n in poi
$\{x in X : |f(x)|>= \epsilon \} sub \{x in X : |f_n(x)|>= \epsilon/2\}$
Per quanto riguarda la chiusura del sottospazio $C_{0}(X)$ osservo che se $f_n in C_{0}(X)$ e $f_n$ è di cauchy allora converge ad una certa $f in C_{b}(X)$.
e da un certo n in poi
$\{x in X : |f(x)|>= \epsilon \} sub \{x in X : |f_n(x)|>= \epsilon/2\}$
credo di capire il perché $\{x in X : |f(x)| + |g(x)|>= \epsilon\}$ è compatto ma non credo che sia il modo più naturale per arrivarci:
$|f(x)| + |g(x)|<= 2max(|f(x)|,|g(x)|)$ dunque
$\{x in X : |f(x)| + |g(x)|>= \epsilon\} sube \{x in X : 2max(|f(x)|,|g(x)|)>= \epsilon\} = \{x in X : max(|f(x)|,|g(x)|)>= \epsilon/2\} $
ma
$\{x in X : max(|f(x)|,|g(x)|)>= \epsilon/2\} = \{x in X : |f(x)|>= \epsilon/2\} uu \{x in X : |g(x)|>= \epsilon/2\}$
che è l'unione di due compatti (quindi un compatto)
$|f(x)| + |g(x)|<= 2max(|f(x)|,|g(x)|)$ dunque
$\{x in X : |f(x)| + |g(x)|>= \epsilon\} sube \{x in X : 2max(|f(x)|,|g(x)|)>= \epsilon\} = \{x in X : max(|f(x)|,|g(x)|)>= \epsilon/2\} $
ma
$\{x in X : max(|f(x)|,|g(x)|)>= \epsilon/2\} = \{x in X : |f(x)|>= \epsilon/2\} uu \{x in X : |g(x)|>= \epsilon/2\}$
che è l'unione di due compatti (quindi un compatto)
"boulayo":
credo di capire il perché $\{x in X : |f(x)| + |g(x)|>= \epsilon\}$ è compatto ma non credo che sia il modo più naturale per arrivarci:
$|f(x)| + |g(x)|<= 2max(|f(x)|,|g(x)|)$ dunque
$\{x in X : |f(x)| + |g(x)|>= \epsilon\} sube \{x in X : 2max(|f(x)|,|g(x)|)>= \epsilon\} = \{x in X : max(|f(x)|,|g(x)|)>= \epsilon/2\} $
ma
$\{x in X : max(|f(x)|,|g(x)|)>= \epsilon/2\} = \{x in X : |f(x)|>= \epsilon/2\} uu \{x in X : |g(x)|>= \epsilon/2\}$
che è l'unione di due compatti (quindi un compatto)
Mi sembra vada bene; come vedi basta smanettarci un po' sopra
Anche la chiusura va bene, ma anziché prendere una successione di Cauchy, di basta dire che, se \((f_n) \subset C_0\) converge a \(f\) in \(C_b\), allora \(f\in C_0\) (dimostrandolo esattamente come hai fatto tu).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo