Esercizio su serie numerica
Salve,
come da titolo potreste gentilmente aiutarmi a risolvere il seguente esercizio?
$\sum_{n=2}^infty (-1)^n (cos(n))/(nlog^2(n))$
La serie non converge assolutamente.. ma il mio dubbio sta nell'applicare il criterio di Leibnitz, dato che il coseno oscilla da $-1$ a $1$ cambiandomi segno alla serie..
Grazie
come da titolo potreste gentilmente aiutarmi a risolvere il seguente esercizio?
$\sum_{n=2}^infty (-1)^n (cos(n))/(nlog^2(n))$
La serie non converge assolutamente.. ma il mio dubbio sta nell'applicare il criterio di Leibnitz, dato che il coseno oscilla da $-1$ a $1$ cambiandomi segno alla serie..
Grazie
Risposte
Perchè la serie non converge assolutamente?
[tex]\displaystyle a_n=(-1)^n \frac{\cos(n)}{n \log^2(n)}\implies |a_n|= \left|\frac{\cos(n)}{n \log^2(n)}\right|\le \frac{1}{n \log^2(n)}[/tex]
Che cosa fa la serie
[tex]\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n \log^2(n)}[/tex]? Converge per il criterio integrale, e dunque per il criterio del confronto [tex]\displaystyle \sum_{n=2}^\infty|a_n|[/tex] converge e quindi.... (finisci
)
[tex]\displaystyle a_n=(-1)^n \frac{\cos(n)}{n \log^2(n)}\implies |a_n|= \left|\frac{\cos(n)}{n \log^2(n)}\right|\le \frac{1}{n \log^2(n)}[/tex]
Che cosa fa la serie
[tex]\displaystyle \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n \log^2(n)}[/tex]? Converge per il criterio integrale, e dunque per il criterio del confronto [tex]\displaystyle \sum_{n=2}^\infty|a_n|[/tex] converge e quindi.... (finisci
)
Un attimo.. cos'è il criterio integrale?
Probabilmente non lo hai ancora fatto, allora propongo di risolvere la serie [tex]\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n \log^2 (n)}[/tex] con il criterio di condensazione di Cauchy.
Per maggiori informazioni riguardo al criterio integrale guarda quì
Per maggiori informazioni riguardo al criterio integrale guarda quì
Mmmh .. criterio di condensazione di Cauchy?
Certo, abbiamo studiato il criterio del confronto, confronto asintotico, rapporto, radice e Leibnitz
Non è che per caso hai sui tuoi appunti una tabella in cui ci sono le condizioni di convergenza della serie
[tex]\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n^\alpha\log^\beta(n)}[/tex]? Se così non fosse allora mi trovo in difficoltà
[tex]\displaystyle\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n^\alpha\log^\beta(n)}[/tex]? Se così non fosse allora mi trovo in difficoltà
Mi sa proprio di no.. ma è strano perchè il mio maledetto libro tra gli esercizi svolti non mette quelli di questo tipo.. quindi non si potrebbe fare niente neanche con $\sum_{n=0}^n (-1)^n 1/log(n)$
Mmm, suppongo che la serie sia:
[tex]\displaystyle\sum_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{1}{\log(n)}[/tex], in questo caso puoi tranquillamente usare il criterio di Leibnitz, infatti la successione che interviene nella serie è della forma: [tex](-1)^n a_n[/tex] con [tex]a_n =\frac{1}{\log(n)}[/tex]. Ora [tex]a_n>0\quad \forall n\ge 2[/tex] e inoltre è una successione decrescente (perchè?)
[tex]\displaystyle\sum_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{1}{\log(n)}[/tex], in questo caso puoi tranquillamente usare il criterio di Leibnitz, infatti la successione che interviene nella serie è della forma: [tex](-1)^n a_n[/tex] con [tex]a_n =\frac{1}{\log(n)}[/tex]. Ora [tex]a_n>0\quad \forall n\ge 2[/tex] e inoltre è una successione decrescente (perchè?)
Si si scusa era $n = 2$ ovviamente.. Ed era anche fattibile.. è una successione decrescente perchè $log(n)1/(log(n+1))$. Potevo pensarci prima.. quindi per l'altro niente da fare? Provo a chiedere al mio professore, magari eviterà esercizi del genere all'esame!
Beh, potresti studiare da solo i criteri. Un po' di iniziativa non guasta . Oppure aspetta altre risposte, magari esiste un modo che adesso non mi sovviene
. Oppure aspetta altre risposte, magari esiste un modo che adesso non mi sovviene
E hai ragione 
Grazie davvero!
Grazie davvero!
Prego
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