Esercizio su serie di potenze
Ho il seguente esercizio e devo puntualizzare che non so risolverlo in quanto il prof non ci ha mai illustrato una via risolutiva. Ma improrogabilmente devo essere in grado di capirne metodo perchè potrebbe capitare all'esame.chiedo anticipatamente scusa se non propongo un mio procedimento ma vorrei seguire i vostri per poter ricavare qualcosa di determinante da mettere subito in pratica.
l'esercizio richiede: denotata con T_n la somma parziale ennesima della serie (*)$sum(-1)^nsin(1/n)$, determinare, al variare di x in ]-1,+oo[ il carattere della serie di potenze:
$sum(T_n)(x^n)$
unica cosa che posso dire è che la somma, per x=0, si riduce a 0+0+0...
la serie(*) se non erro è convergente per il criterio di Leibniz ma non so se può essermi utile.
ancora una volta, vi ringrazio per il vostro aiuto,
alex
l'esercizio richiede: denotata con T_n la somma parziale ennesima della serie (*)$sum(-1)^nsin(1/n)$, determinare, al variare di x in ]-1,+oo[ il carattere della serie di potenze:
$sum(T_n)(x^n)$
unica cosa che posso dire è che la somma, per x=0, si riduce a 0+0+0...
la serie(*) se non erro è convergente per il criterio di Leibniz ma non so se può essermi utile.
ancora una volta, vi ringrazio per il vostro aiuto,
alex
Risposte
Allora, ogniqualvolta hai una serie anzitutto prova a vedere cosa fa il termine generico di quella serie. Se il termine generico non va a zero la serie o diverge o oscilla ma sicuramente non converge. Questo esclude gli $x$ il cui modulo è strettamente maggiore di $1$ (se non capisci il perché, chiedi pure! il punto è che $x^n$ va a infinito molto più velocemente di quanto $T_n$ vada a zero...)
In alternativa puoi usare il criterio della radice che ti porta allo stesso risultato, e anzi ti dice anche che per $| x | < 1$ hai convergenza assoluta e in tutti gli insiemi della forma ${| x | < 1 - \epsilon}$ hai convergenza totale (qui devi usare che $T_n$ è limitato perché converge! ho fatto a occhio ma dovrebbe essere giusto).
Dopodichè, direi che l'unica cosa che ti resterà da fare è studiare il comportamento sulla circonferenza di raggio $1$ (ma sei nei reali o nei complessi? io queste cose le ho sempre viste su $CC$ perché è pù facile visualizzare; se sei nei reali sto parlando di studiare la serie in $x = \pm 1$), e qui il discorso è più delicato. Direi che il fatto che $T_n$ tenda a $0$ non basti per far convergere la serie assolutamente (perché la velocità di convergenza zero è logaritmica, direi), ma ci devo pensare ancora un po' su per capire cosa succede.
EDIT: Avevo scritto qualche cosa non giusta. Mi accorgo inoltre che le precisazioni su reali e complessi sono inutili, mi era sfuggito che $x \in ] - 1 , + \infty [$. A questo punto l'unico caso non studiato è $x = 1$, più magari aggiungerò qualche precisazione.
In alternativa puoi usare il criterio della radice che ti porta allo stesso risultato, e anzi ti dice anche che per $| x | < 1$ hai convergenza assoluta e in tutti gli insiemi della forma ${| x | < 1 - \epsilon}$ hai convergenza totale (qui devi usare che $T_n$ è limitato perché converge! ho fatto a occhio ma dovrebbe essere giusto).
Dopodichè, direi che l'unica cosa che ti resterà da fare è studiare il comportamento sulla circonferenza di raggio $1$ (ma sei nei reali o nei complessi? io queste cose le ho sempre viste su $CC$ perché è pù facile visualizzare; se sei nei reali sto parlando di studiare la serie in $x = \pm 1$), e qui il discorso è più delicato. Direi che il fatto che $T_n$ tenda a $0$ non basti per far convergere la serie assolutamente (perché la velocità di convergenza zero è logaritmica, direi), ma ci devo pensare ancora un po' su per capire cosa succede.
EDIT: Avevo scritto qualche cosa non giusta. Mi accorgo inoltre che le precisazioni su reali e complessi sono inutili, mi era sfuggito che $x \in ] - 1 , + \infty [$. A questo punto l'unico caso non studiato è $x = 1$, più magari aggiungerò qualche precisazione.
"irenze":mi sono smarrito in questa parte. ciò che hai scritto precedentemente l'ho capito. ti ringrazio per l'aiuto, alex
Dopodichè, direi che l'unica cosa che ti resterà da fare è studiare il comportamento sulla circonferenza di raggio $1$ (ma sei nei reali o nei complessi? io queste cose le ho sempre viste su $CC$ perché è pù facile visualizzare; se sei nei reali sto parlando di studiare la serie in $x = \pm 1$), e qui il discorso è più delicato. Direi che il fatto che $T_n$ tenda a $0$ non basti per far convergere la serie assolutamente (perché la velocità di convergenza zero è logaritmica, direi), ma ci devo pensare ancora un po' su per capire cosa succede.
Sai che per $|x| > 1$ la serie non converge (anzi, se fai un po' di conti - pochi, ti accorgi che $T_n \leq 0$ sempre e quindi hai una serie a segno costante che diverge, in particolare per $x > 1$ - che è l'unico caso che devi studiare - va a $- \infty$), e sai che per $|x| < 1$ la serie converge. Cosa ti resta da studiare? I casi in cui $|x| = 1$. Siccome non ti è richiesto $x = - 1$ (non sta in $] - 1 , + \infty [$) resta solo $x = 1$. E qui le cose sono difficili perché devi fare "a mano" (non ci sono regole generali). In pratica devi studiare $\sum_{n = 1}^\infty{T_n}$. Siccome $T_n \to 0$ per $n \to \infty$, non puoi dire facilmente che la serie non converge, quindi tutte le opzioni sono aperte.
Secondo me il modo di andare a zero di $T_n$ è troppo lento per permettere alla serie di convergere, quindi io proverei a dimostrare - ad esempio con un confronto astuto - che la serie diverge (a $- \infty$, attenzione!!!) cioè a minorare $|T_n|$ con qualcosa tipo $c/n^\alpha$ per qualche $\alpha \leq 1$ (proverei prima con $alpha = 1$). Ma può essere che mi sbagli.
Il riferimento ai complessi era perché studiandole su $CC$ le serie di potenze si capiscono MOLTO meglio...
Secondo me il modo di andare a zero di $T_n$ è troppo lento per permettere alla serie di convergere, quindi io proverei a dimostrare - ad esempio con un confronto astuto - che la serie diverge (a $- \infty$, attenzione!!!) cioè a minorare $|T_n|$ con qualcosa tipo $c/n^\alpha$ per qualche $\alpha \leq 1$ (proverei prima con $alpha = 1$). Ma può essere che mi sbagli.
Il riferimento ai complessi era perché studiandole su $CC$ le serie di potenze si capiscono MOLTO meglio...
ti ringrazio irenze per 'aiuto. si è arrivati al confronto e sono dolori. Noi stiamo studiando le serie ancora in campo reale, tuttavia il prof ha dedicato pochissimo tempo a queste e agli integrali ( nonchè allo studio di funzioni) quindi immaginati la mia preparazione a riguardo...più che preparazione teorica, quella pratica. speriamo bene. grazie ancora, alex
Quello che cerco di farti capire è questo: questo tipo di esercizi ha una parte standard e una non standard.
Parte standard:
Una serie di potenze $\sum_{n = 0}^\infty{a_n z^n}$ ha sempre un RAGGIO critico $R$ (concetto generalizzato di raggio, però, che include $0$ e $\infty$).
DENTRO alla circonferenza di raggio R c'è SEMPRE convergenza (assoluta e totale nelle palle di raggio $r < R$), FUORI non c'è MAI convergenza.
Il raggio critico $R$ si trova con una formuletta (che discende dal criterio della radice): detto
$L := limsup_{n \to \infty}{|a_n|}^{1/n}$
si ha $R := 1/L$ (con i casi particolari $R = 0$ se $L = \infty$ e $R = \infty$ se $L = 0$).
Parte non standard:
Cosa succede sulla circonferenza di raggio $R$ (quando $0 < R < \infty$)?
Qui bisogna studiare caso per caso ($x$ per $x$) e applicare tutte le tecniche conosciute per lo studio del carattere di una serie.
Non c'è un modo univoco essenzialmente perché tutto è possibile.
Spero di essere stata chiara. Puoi chiedere ad ogni modo (e ora vedo se trovo delle dispense decenti)
EDIT: Avevo dimenticato I TERMINI della serie! C'era solo il simbolo di sommatoria!
Parte standard:
Una serie di potenze $\sum_{n = 0}^\infty{a_n z^n}$ ha sempre un RAGGIO critico $R$ (concetto generalizzato di raggio, però, che include $0$ e $\infty$).
DENTRO alla circonferenza di raggio R c'è SEMPRE convergenza (assoluta e totale nelle palle di raggio $r < R$), FUORI non c'è MAI convergenza.
Il raggio critico $R$ si trova con una formuletta (che discende dal criterio della radice): detto
$L := limsup_{n \to \infty}{|a_n|}^{1/n}$
si ha $R := 1/L$ (con i casi particolari $R = 0$ se $L = \infty$ e $R = \infty$ se $L = 0$).
Parte non standard:
Cosa succede sulla circonferenza di raggio $R$ (quando $0 < R < \infty$)?
Qui bisogna studiare caso per caso ($x$ per $x$) e applicare tutte le tecniche conosciute per lo studio del carattere di una serie.
Non c'è un modo univoco essenzialmente perché tutto è possibile.
Spero di essere stata chiara. Puoi chiedere ad ogni modo (e ora vedo se trovo delle dispense decenti)
EDIT: Avevo dimenticato I TERMINI della serie! C'era solo il simbolo di sommatoria!
per la parte standard sei stata chiarissima. in fondo è quello che ho studiato dai libri. per la seconda parte altrettanto ma non ho ancora fatto occhio e distinguere i casi singoli i è complicato ( figurati che a distanza di un mese ancora non riesco a trovare esponenti per cui una funzione risulti integrabile in un intervallo:).
grazie..
grazie..
Puoi guardare queste dispense. I primi capitoli spiegano un po' come funziona la teoria per queste cose (e ci sono esercizi più semplici ed esempi).
"irenze":
Puoi guardare queste dispense. I primi capitoli spiegano un po' come funziona la teoria per queste cose (e ci sono esercizi più semplici ed esempi).
controllerò subito. grazie per l'interessamento. un abbraccio, alex
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