Esercizio su serie di potenze

[brownbetty1]

Salve a tutti. Devo calcolare il raggio di convergenza della serie di termine generale $x^(n^2)$. Il mio libro dice che il teorema di Cacuchy-Hadamard non si può applicare perchè il relativo limite non esiste, ma il professore ci ha dimostrato questo teorema nella versione con il massimo limite, che esiste sempre. Comunque sia, io ho fatto la sostituzione $t^n=x^(n^2)$ da cui ricavo $t = x^n$ e quindi applicando Cauchy-Hadamard alla successione $1$ trovo che il suo limite (quindi anche il suo massimo limite) è ovviamente $1$. Infine per il teorema del raggio ottengo la convergenza assoluta per $|t|<1$ cioè per $|x^n|<1$ cioè per $|x|<1$, da cui deduco che il raggio di convergenza è $1$.

Dove sto sbagliando ?

Grazie a tutti.

[Rigel1]

Hai fatto una sostituzione che dipende da \(n\), cosa non lecita visto che poi vuoi fare un limite per \(n\to +\infty\).
Dal momento che hai visto come si calcola il raggio di convergenza usando il \(\limsup\), ti conviene osservare che i coefficienti della tua serie \(\sum_k a_k x^k\) sono dati da
\[
a_k = \begin{cases}
1, & \text{se}\ k = n^2,\ n\in\mathbb{N},\\
0, &\text{altrimenti}.
\end{cases}
\]

[brownbetty1]

Ciao, grazie per la risposta. Non capisco perchè il coefficiente $a_k$ della serie è $0$ quando quando $k$ è diverso da $n^2$.

[Rigel1]

Guarda com'è fatta la tua serie:
\[
x^1 + x^4 + x^9 + \ldots
\]
vale a dire
\[
1\cdot x^1 + 0\cdot x^2+ 0\cdot x^3 + 1\cdot x^4 + 0\cdot x^5 + 0\cdot x^6 + 0\cdot x^7+ 0\cdot x^8 + 1\cdot x^9 + 0\cdot x^{10} + \ldots
\]
e vedi subito quanto valgono i coefficienti.

[brownbetty1]

Grazie mille !!!

[brownbetty1]

Ciao. Ho la serie di termine generale $(2^n)(x-1)^(2n)$. Studiando con il metodo che ho proposto nel primo post, con la sostituzione $t=(x-1)^2$, che stavolta non dipende da $n$, ottengo che il suo raggio di convergenza è $sqrt(2)/2$. Siccome questa serie presenta lo stesso problema della successione dei coefficienti della serie di termine generale $x^(n^2)$, ho pensato di studiarla come quest'ultima. Tuttavia ottengo come raggio di convergenza $1/2$. Per piacere, potresti farmi vedere il procedimento che usi per trovare il raggio di convergenza per questa nuova serie (a partire dalla scoperta delle due estratte) ?

Grazie.

[Rigel1]

Puoi vedere la serie come \(\sum_k a_k (x-1)^k\), con
\[
a_k = \begin{cases}
(\sqrt{2})^{k}, &\text{se}\ k = 2n,\ n\in\mathbb{N},\\
0, &\text{altrimenti}.
\end{cases}
\]

[brownbetty1]

Ciao, grazie per la risposta. Ecco, io arrivata proprio a questo punto, non capisco quali passaggi scrivere per applicare il teorema di Cauchy-Hadamard facendo uso delle estratte.

[Rigel1]

Calcoli
\[
l = \limsup_k \sqrt[k]{|a_k|} = \sqrt{2}
\]
e \(\rho = 1/l = 1/\sqrt{2}\).