Esercizio su serie di Mengoli

[Flaxo1]

Ciao ragazzi nn riesco a svolgere questa serie. Nn so se è giusto ma svolgendola come serie di Mengoli e scomponendo alla fine trovo un'altra serie e nn so cosa fare! Aiuto!


$1+1/(2*3)+1/(3*5)+1/(4*7)+1/(5*9)+1/(6*11)+1/(7*13)+...$

[dissonance]

Ma che devi fare?

[Flaxo1]

Nn l'avevo scritto sry! XD Devo fare la somma

[piero_1]

Ma la serie di Mengoli io la ricordo così:
$sum_{n=1}^\infty 1/(n(n+1))

[Flaxo1]

in questa il termine generale è $\sum_{n=1}^infty 1/[n(2n-1)]$

[piero_1]

"Flaxo":in questa il termine generale è $\sum_{n=1}^infty 1/[n(2n-1)]$

ok, non è la serie di Mengoli.
Quella di Mengoli converge a 1, questa vediamo.

[piero_1]

"Flaxo":in questa il termine generale è $\sum_{n=1}^infty 1/[n(2n-1)]$

ho trovato la stessa serie su miei vecchi appunti anni '80

$\sum_{n=1}^infty 1/[n(2n-1)]$ è convergente a $2ln2$
appena (se) trovo anche la dimostrazione te la posto, sennò proviamo a calcolarla.

[Flaxo1]

Grz mille!!

[amel3]

Chiaramente studiare la serie $\sum_{n=1}^{+oo}1/(n(2n-1))$ è equivalente a studiare $\sum_{n=1}^{+oo}1/(2n(2n-1))$ (moltiplico per $1/2$...).
Intanto notiamo che $1/(2n(2n-1))=1/(2n-1)-1/(2n)$, $\forall n>=1$.
In definitiva, abbiamo:
$\sum_{n=1}^{+oo}1/(2n(2n-1))=\sum_{n=1}^{+oo}1/(2n-1)-1/(2n)=lim_{m->+oo}\sum_{n=1}^{m}1/(2n-1)-1/(2n)=lim_{m->+oo}(1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + .... +1/(2m-1)-1/(2m))=lim_{m->+oo}\sum_{n=1}^{2m}(-1)^(n+1)/n=lim_{m->+oo}\sum_{n=1}^{m}(-1)^(n+1)/n=\sum_{n=1}^{+oo}(-1)^(n+1)/n$.
Essendo $\sum_{n=1}^{+oo}(-1)^(n+1)/n$ la serie di Taylor del logaritmo $\log(1+x)$ in $x=1$$ \ $ $(\sum_{n=1}^{+oo}(-1)^(n+1)/n x^n=\log(1+x), \ -1 $\sum_{n=1}^{+oo}1/(2n(2n-1))=\sum_{n=1}^{+oo}(-1)^(n+1)/n=\log 2$,
ovvero:
$\sum_{n=1}^{+oo}1/(n(2n-1))=2 \log 2$.
Torna?

[piero_1]

"amel":
Torna?

Torna, torna...
Ubi maior minor cessat

[Flaxo1]

Grz ancora siete stati davvero d'aiuto ^_^