Esercizio su Riemann-integrabilità
Salve ragazzi, ho alcuni dubbi su questo esercizio:
dire giustificando se la funzione è R-integrabile nell'intervallo chiuso di estremi 0 e 1
$ f(x)={ ( (1/x)logx ; AA x in (0,1| )),( 1 ;x=0 ):} $
$ lim_(x -> 0) (1/x)logx= -oo $ quindi abbiamo un punto (uno ed uno solo) di discontinuità di seconda specie.
Il teorema di Lebesgue afferma che data una funzione definita in un intervallo chiuso, nel quale è limitata, se l'insieme dei punti di discontinuità è finito o numerabile allora la f è R-integrabile nell'intervallo chiuso.
Per quanto riguarda questo esercizio mi è sorto qualche dubbio sulla limitatezza, a mio avviso non è limitata. (Se non lo fosse non è detto che la f non sia R-integrabile perchè il teorema offre solo una condizione sufficiente e dovrei verificare ricorrendo alle partizioni, alla somma superiore e inferiore). Qualcuno puo' aiutarmi? Grazie in anticipo, sono un po' arruginito.
dire giustificando se la funzione è R-integrabile nell'intervallo chiuso di estremi 0 e 1
$ f(x)={ ( (1/x)logx ; AA x in (0,1| )),( 1 ;x=0 ):} $
$ lim_(x -> 0) (1/x)logx= -oo $ quindi abbiamo un punto (uno ed uno solo) di discontinuità di seconda specie.
Il teorema di Lebesgue afferma che data una funzione definita in un intervallo chiuso, nel quale è limitata, se l'insieme dei punti di discontinuità è finito o numerabile allora la f è R-integrabile nell'intervallo chiuso.
Per quanto riguarda questo esercizio mi è sorto qualche dubbio sulla limitatezza, a mio avviso non è limitata. (Se non lo fosse non è detto che la f non sia R-integrabile perchè il teorema offre solo una condizione sufficiente e dovrei verificare ricorrendo alle partizioni, alla somma superiore e inferiore). Qualcuno puo' aiutarmi? Grazie in anticipo, sono un po' arruginito.
Risposte
Per ogni $x\in (0,e^{-1})$ si ha che
\[
\frac{1}{x}\ln x\leq -\frac{1}{x},
\]
dunque
\[
\lim_{\varepsilon \to 0^+}\int_{\varepsilon}^{e^{-1}} \!\frac{1}{x}\ln x \, dx \leq \lim_{\varepsilon \to 0^+}\int_{\varepsilon}^{e^{-1}} \!-\frac{1}{x} \, dx=\lim_{\varepsilon \to 0^+}-\Big[\ln x\Big]_{\varepsilon}^{e^{-1}}=\lim_{\varepsilon \to 0^+}(1+\ln \varepsilon)=-\infty.
\]
Quindi la funzione non è Riemann integrabile in senso improprio nell'intorno dell'origine.
\[
\frac{1}{x}\ln x\leq -\frac{1}{x},
\]
dunque
\[
\lim_{\varepsilon \to 0^+}\int_{\varepsilon}^{e^{-1}} \!\frac{1}{x}\ln x \, dx \leq \lim_{\varepsilon \to 0^+}\int_{\varepsilon}^{e^{-1}} \!-\frac{1}{x} \, dx=\lim_{\varepsilon \to 0^+}-\Big[\ln x\Big]_{\varepsilon}^{e^{-1}}=\lim_{\varepsilon \to 0^+}(1+\ln \varepsilon)=-\infty.
\]
Quindi la funzione non è Riemann integrabile in senso improprio nell'intorno dell'origine.
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