Esercizio su ricerca di punti estremi vincolati

[nicodiana04]

Buonasera a tutti. Ho un problema con questo esercizio in cui si richiede di cercare massimi e minimi assoluti della funzione $f(x,y) = x^2 +2y^2+3/2x+1$ sul vincolo $ g(x,y)=4x^2+y^2-1$
Le soluzioni del testo sono Max in $(1/4, +- sqrt(3/2))$ e un Min in $(-1/2,0)$

Ho provato sia ad utilizzare il Metodo dei Moltiplicatori di Lagrange , sia il metodo per sostituzione esprimendo il vincolo in coordinate polari, tuttavia mi ritrovo soltanto con la soluzione per il minimo, mentre per massimo ottengo punti differenti in base al metodo utilizzato, e in nessuno dei 2 metodi i punti mi coincidono con quelli della soluzione.

Spiego i passaggi utilizzando Lagrange:
Ho impostato il sistema in questo modo:
$\{(4x^2+y^2=1),(2x+3/2=Λ8x),(4y=Λ2y):}$
Dalla 3 ricavo 2 soluzioni cioe $Λ=2$ e $y=0$
Sostituendo y=0 ottengo i punti $1/2,0$ e $-1/2,0$ (che mi risulta un PUNTO DI MINIMO)
Sostituendo invece Λ=2 ottengo i punti $(3/28,sqrt(187)/14)$ e $(3/28,-sqrt(187)/14)$ entrambi mi risultano PUNTI DI MASSIMO.

I passaggi con il metodo di sostituzione invece:
Esprimo il vincolo in coordinate polari ottenendo : $r(t) = 1/2 cos(t) ; sin (t)$
Eseguo la restrizione di f al vincolo ottenendo $f(r(t))= 1/4 cos^2 (t) +2sin^2(t)+3/4 cos (t) +1 $ con $0<=t<=2Π$
Faccio la derivata : $f'(r(t))= -1/4 sin(2t) +2sin(2t) -3/4 sin(2t) = sin(2t)$ .
Gli angoli per cui si annulla la mia derivata sono t= 0 , Π/2, Π, 3Π/2.
Sostituendo gli angoli trovati alla curva r(t) ottengo i punti candidati ad essere estremi assoluti
$t=0-> ( 1/2, 0 ) , t=Π/2-> (0,1) , t=Π -> (-1/2,0 ) t=(3Π)/2 -> (0,-1) $
Infine, valutando f in questi punti concludo che $(-1/2,0)$ ( mi risulta un PUNTO DI MINIMO). $(0, +-1)$ ( mi risultano PUNTI DI MASSIMO).

Dov'è che sbaglio?

[sellacollesella]

.

[pilloeffe]

Ciao nico_engineering_dd,

Posto $z = f(x,y) = x^2 +2y^2+3/2x+1 $ e supponendo che il vincolo sia quello che ha già scritto sellacollesella, cioè $4x^2 + y^2 - 1 = 0 \iff x^2/(1/2)^2 + y^2/1^2 = 1 $ (ellisse di semiassi $a = 1/2 $ e $b = 1 $), è più semplice ricavarsi $y^2 = 1 - 4x^2 $ e andarlo a sostituire nell'espressione di $f(x, y) $ ottenendo così una funzione della sola variabile reale $x$:

$z = z(x) = x^2 + 2 (1 - 4x^2) + 3/2 x + 1 = x^2 + 2 - 8x^2 + 3/2 x + 1 = - 7x^2 + 3/2 x + 3 $

Si tratta di una parabola con la concavità verso il basso ($- 7 < 0$) da studiare per $x \in [- 1/2, 1/2] $

Il minimo si trova nel punto $L(-1/2, 0) \implies z_L = 1/2 $, il massimo nel vertice della parabola $x_V = (-3/2)/(- 14) = 3/28 \implies y_{M, H} = \pm \sqrt{1 - 4(3/28)^2} = \pm \sqrt{1 - 4(3/28)^2} = \pm \sqrt{1 - 36/28^2} = $

$ = \pm \sqrt{748}/28 = \pm \sqrt{187}/14 $

Quindi i punti di massimo sono $M(3/28, \sqrt{187}/14) $ e $H(3/28, - \sqrt{187}/14) $ e si ha:

$ z_M = z_H = z_V = - 7(3/28)^2 + 3/2 \cdot 3/28 + 3 = - 63/784 + 9/56 + 3 = (-63 + 126 + 2352)/784 = $

$= 2415/784 = 345/112 ~~ 3,080357 $

[nicodiana04]

"sellacollesella":[quote="nico_engineering_dd"]sul vincolo $ g(x,y)=4x^2+y^2-1$

Il vincolo o è un'equazione o è una disequazione; suppongo sia \(g(x,y)=0\).

"nico_engineering_dd":In nessuno dei 2 metodi i punti mi coincidono con quelli della soluzione.

Una veloce verifica (click) permette di appurare che i tuoi primi risultati sono corretti.
Circa il secondo metodo, hai sbagliato la derivata prima rispetto a \(t\), rivedi i calcoli. [/quote]
Grazie mille

[nicodiana04]

"pilloeffe":Ciao nico_engineering_dd,

Posto $z = f(x,y) = x^2 +2y^2+3/2x+1 $ e supponendo che il vincolo sia quello che ha già scritto sellacollesella, cioè $4x^2 + y^2 - 1 = 0 \iff x^2/(1/2)^2 + y^2/1^2 = 1 $ (ellisse di semiassi $a = 1/2 $ e $b = 1 $), è più semplice ricavarsi $y^2 = 1 - 4x^2 $ e andarlo a sostituire nell'espressione di $f(x, y) $ ottenendo così una funzione della sola variabile reale $x$:

$z = z(x) = x^2 + 2 (1 - 4x^2) + 3/2 x + 1 = x^2 + 2 - 8x^2 + 3/2 x + 1 = - 7x^2 + 3/2 x + 3 $

Si tratta di una parabola con la concavità verso il basso ($- 7 < 0$) da studiare per $x \in [- 1/2, 1/2] $

Il minimo si trova nel punto $L(-1/2, 0) \implies z_L = 1/2 $, il massimo nel vertice della parabola $x_V = (-3/2)/(- 14) = 3/28 \implies y_{M, H} = \pm \sqrt{1 - 4(3/28)^2} = \pm \sqrt{1 - 4(3/28)^2} = \pm \sqrt{1 - 36/28^2} = $

$ = \pm \sqrt{748}/28 = \pm \sqrt{187}/14 $

Quindi i punti di massimo sono $M(3/28, \sqrt{187}/14) $ e $H(3/28, - \sqrt{187}/14) $ e si ha:

$ z_M = z_H = z_V = - 7(3/28)^2 + 3/2 \cdot 3/28 + 3 = - 63/784 + 9/56 + 3 = (-63 + 126 + 2352)/784 = $

$= 2415/784 = 345/112 ~~ 3,080357 $

Grazie mille, quindi hai praticamente ristretto la f al vincolo e poi ti sei studiato direttamente la funzione ottenuta ? Mi sembra di aver gia proceduto in maniera simile per altri esercizi però spezzando i vari pezzi del "grafico del vincolo" e poi restringendo la f a questi vari pezzi, trovando massimi e minimi su queste restrizioni, da poi aggiungere nell'insieme dei candidati . In questo caso hai semplicemente preso tutto il vincolo e da quello che ho inutito è conveniente farlo quando ci si riconduce a funzione di 1 sola variabile (perchè non sempre può accadere). E in questo caso il vincolo era un equazione quindi definiva solo il bordo dell'ellisse, se fosse stato anche l'interno del bordo avrei dovuto fare ottimizzazione libera e vedere quali dei punti trovati appartenevano all'interno dell'ellisse , per inserirli poi nei candidati tra gli estremi assoluti giusto?

[pilloeffe]

"nico_engineering_dd":Grazie mille

Prego.

"nico_engineering_dd":quindi hai praticamente ristretto la f al vincolo e poi ti sei studiato direttamente la funzione ottenuta ?

Esatto.

"nico_engineering_dd":In questo caso hai semplicemente preso tutto il vincolo e da quello che ho inutito è conveniente farlo quando ci si riconduce a funzione di 1 sola variabile (perchè non sempre può accadere). E in questo caso il vincolo era un equazione quindi definiva solo il bordo dell'ellisse, se fosse stato anche l'interno del bordo avrei dovuto fare ottimizzazione libera e vedere quali dei punti trovati appartenevano all'interno dell'ellisse, per inserirli poi nei candidati tra gli estremi assoluti giusto?

Esatto di nuovo: un punto di massimo o di minimo relativo non è in generale un punto di massimo o di minimo assoluto, mentre un punto di massimo o di minimo assoluto è anche un punto di massimo o di minimo relativo.

Diciamo che in principio fu il Metodo dei moltiplicatori di Lagrange, ma se dal vincolo $g(x, y) = 0 $ si riesce ad esplicitare facilmente una delle due variabili, come nel caso in esame, dove addirittura non c'è neanche bisogno di trovarsi $y$ e ci basta trovare $y^2$ perché compare solo $y^2$ nella definizione di $f(x, y) $, allora è più semplice andarsi a studiare la funzione di una variabile che si ottiene andando a sostituire nella definizione della $f(x, y) $ la variabile esplicitata. Il metodo è molto conveniente e più semplice di quello di Lagrange nel caso in cui il vincolo sia una retta o siano figure geometriche composte da rette (triangoli, quadrati, etc.), ma si può applicare con le dovute accortezze anche nel caso di vincoli diversi come quello in esame.