Esercizio su relazione d'ordine
Presa la seguente relazione d'ordine R:
(n,m) \(\displaystyle \in \) R \(\displaystyle \Longleftrightarrow \) ipotesi 1 n<0, m>0 ipotesi 2 n,m>0 e n>m (nella relazione d'ordine usuale) ipotesi 3 n,m<0 e n>m nella relazione d'ordine usuale.
Ora consideriamo l'insieme Z degli interi relativi di tale relazione. Dimostrare che il sottoinsieme N è inferiormente limitato ma non ha estremo inferiore.
Riflessioni: Il sottoinsieme N dovrebbe essere l'insieme dei numeri naturali non negativi escluso lo 0. Se è così, l'insieme N non verifica mai i casi 1 e 3 della relazione d'ordine R. Pertanto l'insieme N è sicuramente limitato inferiormente da 1 ed ha anche minimo (sempre 1)... Non capisco perché non dovrebbe esistere un estremo inferiore. Sto sbagliando sicuramente qualcosa ma non so cosa, ringrazio chi mi potrà dare una mano.
(n,m) \(\displaystyle \in \) R \(\displaystyle \Longleftrightarrow \) ipotesi 1 n<0, m>0 ipotesi 2 n,m>0 e n>m (nella relazione d'ordine usuale) ipotesi 3 n,m<0 e n>m nella relazione d'ordine usuale.
Ora consideriamo l'insieme Z degli interi relativi di tale relazione. Dimostrare che il sottoinsieme N è inferiormente limitato ma non ha estremo inferiore.
Riflessioni: Il sottoinsieme N dovrebbe essere l'insieme dei numeri naturali non negativi escluso lo 0. Se è così, l'insieme N non verifica mai i casi 1 e 3 della relazione d'ordine R. Pertanto l'insieme N è sicuramente limitato inferiormente da 1 ed ha anche minimo (sempre 1)... Non capisco perché non dovrebbe esistere un estremo inferiore. Sto sbagliando sicuramente qualcosa ma non so cosa, ringrazio chi mi potrà dare una mano.
Risposte
Non si capisce niente... innanzitutto su che insieme è definita $R$? Numeri, ma quali? Interi? E che cos'è l'"ipotesi 1", l'"ipotesi 2" e "3"? Forse vuoi dire che \(n\, R\, m\) se e solo se, alternativamente, \(n<0,m>0\), oppure \(n,m>0\land n>m\), oppure \(n,m<0\land n>m\)? E che cos'è l'insieme Z degli interi relativi di tale relazione?
Se sì a tutto, allora la relazione che stai definendo non è comunque riflessiva... Forse con "<" intendi \(\le\) ed il problema è che non sai scrivere [inline]\le[/inline]?
Se sì a tutto, allora la relazione che stai definendo non è comunque riflessiva... Forse con "<" intendi \(\le\) ed il problema è che non sai scrivere [inline]\le[/inline]?
Scusami se non si capisce niente. R è definita su Z.
Sì R è definita alternativamente.
Come detto l'insieme Z degli interi relativi è l'insieme dei numeri naturali relativi su cui è definita R.
Infatti, tale relazione è una relazione d'ordine transitiva ed antiriflessiva e non c'è il minore o uguale... Nel testo dell'esercizio c'è solo <. Ti ringrazio anticipatamente.
Sì R è definita alternativamente.
Come detto l'insieme Z degli interi relativi è l'insieme dei numeri naturali relativi su cui è definita R.
Infatti, tale relazione è una relazione d'ordine transitiva ed antiriflessiva e non c'è il minore o uguale... Nel testo dell'esercizio c'è solo <. Ti ringrazio anticipatamente.
Scriviamo meglio, anche perché così è più chiaro cosa stai dicendo.
\(\mathcal{R}\) è la relazione binaria definita in $ZZ$ in modo che:
\[
n\ \mathcal{R}\ m\quad \stackrel{\textrm{def}}{\Leftrightarrow}\quad \left\{ \begin{split} n < 0 & \text{ ed } m > 0 \\ &\!\!\!\!\!\! \text{oppure} \\ n,m > 0 &\text{ ed } n > m \\ &\!\!\!\!\!\! \text{oppure} \\ n,m < 0 &\text{ ed } n > m\end{split} \right.
\]
o, scritto ancora diversamente:
\[
n\ \mathcal{R}\ m\quad \stackrel{\textrm{def}}{\Leftrightarrow}\quad \left\{ \begin{split} n < 0 & \text{ ed } m > 0 \\ &\!\!\!\!\!\! \text{oppure} \\ n,m \text{ hanno stesso segno} &\text{ ed } n > m\end{split} \right.
\]
"Alternativamente" non significa ciò che vuoi dire in questo contesto.
Correntemente, si usa dire che \(\mathcal{R}\) è definita per casi oppure che è definita distinguendo alcuni casi.
Cerca un accordo con te stesso, deciditi: interi o naturali? Sono due insiemi numerici differenti.
"Tale relazione" quale? $<$ o \(\mathcal{R}\)?
In generale, ti esorto a riflettere su un fatto: è vero che il linguaggio parlato può essere "maltrattato" mantenendo la sua efficacia, ma questo solo perché (e quando) si può fare affidamento su altri canali di comunicazione (ad esempio, il linguaggio del corpo, il tono di voce, etc...) o sulla possibilità di chiedere immediatamente precisazioni su eventuali incomprensioni; al contrario, il linguaggio scritto non può essere "maltrattato" perché perde efficacia (mancando altri canali di comunicazione e la possibilità di chiedere chiarimenti e precisazioni).
Quindi, è sempre meglio cercare di essere puliti nella scrittura.
\(\mathcal{R}\) è la relazione binaria definita in $ZZ$ in modo che:
\[
n\ \mathcal{R}\ m\quad \stackrel{\textrm{def}}{\Leftrightarrow}\quad \left\{ \begin{split} n < 0 & \text{ ed } m > 0 \\ &\!\!\!\!\!\! \text{oppure} \\ n,m > 0 &\text{ ed } n > m \\ &\!\!\!\!\!\! \text{oppure} \\ n,m < 0 &\text{ ed } n > m\end{split} \right.
\]
o, scritto ancora diversamente:
\[
n\ \mathcal{R}\ m\quad \stackrel{\textrm{def}}{\Leftrightarrow}\quad \left\{ \begin{split} n < 0 & \text{ ed } m > 0 \\ &\!\!\!\!\!\! \text{oppure} \\ n,m \text{ hanno stesso segno} &\text{ ed } n > m\end{split} \right.
\]
"lovato":
Sì R è definita alternativamente.
"Alternativamente" non significa ciò che vuoi dire in questo contesto.
Correntemente, si usa dire che \(\mathcal{R}\) è definita per casi oppure che è definita distinguendo alcuni casi.
"lovato":
Come detto l'insieme Z degli interi relativi è l'insieme dei numeri naturali relativi su cui è definita R.
Cerca un accordo con te stesso, deciditi: interi o naturali? Sono due insiemi numerici differenti.
"lovato":
Infatti, tale relazione è una relazione d'ordine transitiva ed antiriflessiva e non c'è il minore o uguale... Nel testo dell'esercizio c'è solo <. Ti ringrazio anticipatamente.
"Tale relazione" quale? $<$ o \(\mathcal{R}\)?
In generale, ti esorto a riflettere su un fatto: è vero che il linguaggio parlato può essere "maltrattato" mantenendo la sua efficacia, ma questo solo perché (e quando) si può fare affidamento su altri canali di comunicazione (ad esempio, il linguaggio del corpo, il tono di voce, etc...) o sulla possibilità di chiedere immediatamente precisazioni su eventuali incomprensioni; al contrario, il linguaggio scritto non può essere "maltrattato" perché perde efficacia (mancando altri canali di comunicazione e la possibilità di chiedere chiarimenti e precisazioni).
Quindi, è sempre meglio cercare di essere puliti nella scrittura.
Supponendo che invece di \(<\) ci sia scritto \(\le\), così da rendere la relazione $R$ riflessiva, e indicandola con un simbolo infisso tipo \(\trianglelefteq\), devi mostrare che \(\trianglelefteq\) è transitiva, cioè che \((\mathbb Z,\trianglelefteq)\) è un preordine:
\(\forall m,n,p\in\mathbb Z.(m\trianglelefteq n,n\trianglelefteq p)\Rightarrow (m\trianglelefteq p)\).
Poi bisogna mostrare che \(\mathbb N\subset\mathbb Z\) è inferiormente \(\trianglelefteq\)-limitato ma non ammette estremo \(\trianglelefteq\)-inferiore.
Come si fa a fare entrambe queste cose?
\(\forall m,n,p\in\mathbb Z.(m\trianglelefteq n,n\trianglelefteq p)\Rightarrow (m\trianglelefteq p)\).
Poi bisogna mostrare che \(\mathbb N\subset\mathbb Z\) è inferiormente \(\trianglelefteq\)-limitato ma non ammette estremo \(\trianglelefteq\)-inferiore.
Come si fa a fare entrambe queste cose?
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