Esercizio su "equaz. piano tangente al grafico in un punto"

[mikelozzo]

Ciao a tutti

vorrei capire come il mio prof svolge il seguente esercizio, poichè ci sono una marea di dati e troppe funzioni (anche se devo dire che credo sia molto più semplice di quanto sembri e la mia difficoltà ricada più che altro nell'interpretazione dei dati, che tutto sommato, mi dicono già quasi tutto..)

Siano $f$ ∈ $C^1 (R^3, R)$ e siano $a,b,c$ ∈ $C^1 (R^2,R)$

Sia $h: R^2 -> R$ -> $h(x,y)=f(a(x,y), b(x,y), c(x,y))$

Scrivere l'equazione del piano tangente al grafico di $h$ in $(x_0,y_0)=(1,2)$ sapendo che:

1) $(a(x_0,y_0), b(x_0,y_0), c(x_0,y_0)) = (3,2,1)$

2) $∇a(x_0,y_0) = (3,2)$
...$∇b(x_0,y_0) = (2,1)$
...$∇c(x_0,y_0) = (2,1)$

3) $f(3,2,1)=pi$

4) $∇f(3,2,1) = (-1,-1,1)$

il cui svolgimento è:

ora:
punto 1) cosa rappresentano le due funzioni in giallo? E' la rappresentazione della funzione $h(x,y)$ lungo le due direzioni $x$ e $y$? E in particolare a cosa mi servono per la risoluzione dell'esercizio?
punto 2) non riesco a capire come viene svolta la moltiplicazione in rosso.. io avrei pensato inizialmente a $(-1,-1,1)(3,2)=[(-3,-3,3);(-2,-2,2)]=[-3-3+3,-2-2+2]=[-3,-2]$ ma ciò dovrebbe valere anche per gli altri due valori (2,1) e quindi presumo che il mio ragionamento sia errato..

non riesco a capire.

Premetto che so che poi va applicata la formula generale:
$z= f(x_0,y_0) + (((∂f)/(∂x))_P)(x-x_0) + (((∂f)/(∂y))_P)(y-y_0)$ con $P=(x_0,y_0)$ per l'equazione del piano tangente al grafico nel punto $(x_0,y_0)$

Come sempre, ringrazio in anticipo tutti ciao ciao!

[Sk_Anonymous]

Alla lunga, la notazione matriciale stanca, soprattutto perchè è facile dimenticarsi cosa mettere in riga piuttosto che in colonna. Ritengo più intuitivo derivare come funzione composta, la cosiddetta chain rule, dato che $h$ è funzione di $x$ e $y$ mediante $a$, $b$ e $c$:

$\{((delh)/(delx)=(delf)/(dela)(dela)/(delx)+(delf)/(delb)(delb)/(delx)+(delf)/(delc)(delc)/(delx)),((delh)/(dely)=(delf)/(dela)(dela)/(dely)+(delf)/(delb)(delb)/(dely)+(delf)/(delc)(delc)/(dely)):}$

$((delf)/(dela),(delf)/(delb),(delf)/(delc))=(-1,-1,1)$

$((dela)/(delx),(dela)/(dely))=(3,2)$

$((delb)/(delx),(delb)/(dely))=(2,1)$

$((delc)/(delx),(delc)/(dely))=(2,1)$

Del resto, in un secondo momento, non è difficile tornare alla notazione matriciale:

$((delh)/(delx),(delh)/(dely))=((delf)/(dela),(delf)/(delb),(delf)/(delc))(((dela)/(delx),(dela)/(dely)),((delb)/(delx),(delb)/(dely)),((delc)/(delx),(delc)/(dely)))$

Attenzione però: se utilizzi la notazione matriciale, ciò che hai evidenziato in rosso, devi appunto fare un prodotto tra matrici, riga per colonna.

[mikelozzo]

Attenzione però: se utilizzi la notazione matriciale, ciò che hai evidenziato in rosso, devi appunto fare un prodotto tra matrici, riga per colonna.

credo di aver dimenticato come ci si comporta con le matrici

in ogni caso:
grazie! spiegazione chiara e semplice

come al solito (se può servire) posto lo svolgimento dell'esercizio, nella speranza che si legga qualcosa:

http://tinypic.com/view.php?pic=2mxehhz&s=7

alla prossima!