Esercizio su punti stazionari in più variabili

[umbe14]

Mi sono imbattuto in un esercizio di ricerca dei punti stazionari di una funzione. Esercizi simili (non questo, ma altri con termini tipo xy) sono un po' rognosi in termini di ricerca e isolamento di x e y. Volevo chiedervi se il modo di procedere è corretto.
Determinare i punti stazionari della funzione
f = x^2y^2 − x^2 − y^2 + 2(x^4) +(y^4)/8
e studiarne la natura.
Quello che ho fatto io è stato:

{df/dx= 2x(y^2) - 2x + 8x^3
{df/dy= 2(x^2)y -2y + (y^3)/2

Quindi, raccogliendo 2x in df/dx e y in df/dy, si ha:
{2x(y^2 - 1 + 4x^2)=0
{y(2x^2 -2 + (y^2)/2)=0

Da cui:
{x=0 v y^2=1-4x^2
{come sopra

Dunque, sostituendo x=0 nella seconda, si ottiene:
{come sopra
{y(-2 + (y^2)/2)=0

Che da:
y=0 v y^2=4 => y1=0 v y2=-2 v y3=+2

I punti che ho così ottenuto da questo sistema sono pertanto i seguenti:
A=(0,0) B=(0,-2) C=(0,2).
Sono corretti? Grazie in anticipo per la risposta.

[pilloeffe]

Ciao umbe,

"umbe":Sono corretti?

Direi di sì.
Osserverei anche che la funzione proposta $z = f(x, y) = x^2y^2 − x^2 − y^2 + 2x^4 +(y^4)/8 = 1/8 [(4x^2 + y^2)^2 - 8(x^2 + y^2)]$ è una funzione pari avente dominio $D =\RR^2 $ e che $A(0,0) $ è un punto di massimo locale che vale $0$, mentre $B $ e $C $ sono due punti di minimo che valgono (entrambi) $- 2 $

[umbe14]

Sì chiaro, poi per stabilire la natura dei singoli punti basta calcolare i vari hessiani. Grazie mille.