Esercizio su O-grande

[keccogrin-votailprof]

Ciao,
dal libro su cui sto studiando ho trovato la seguente affermazione:
"La funzione \(\displaystyle f(t) = t - 1 + \frac{2 t}{e^{2 t} - 1} \) è \(\displaystyle f(t) = \mathcal{O}(t^2) \) per \(\displaystyle t \rightarrow 0^{+} \)".
Come si fa a dimostrarlo?
Io ho provato a fare il limite di \(\displaystyle \frac{f(t)}{t^2} \) per \(\displaystyle t \rightarrow 0^{+} \). Ho riscritto la funzione così:
\(\displaystyle \frac{f(t)}{t^2} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t^2} + \frac{2}{t (e^{2t} - 1)} = \frac{1}{t^2} (t - 1 + \frac{2 t}{e^{2 t} - 1})\) e sviluppando in serie di Taylor \(\displaystyle e^{x} = 1 + x + x^2 /2 \) ottengo:
\(\displaystyle \frac{1}{t^2} (t - 1 + \frac{1}{1+t}) = \frac{1}{t^2} \frac{t^2}{1 + t} = \frac{1}{1+t}\)
che se non sbaglio dovrebbe tendere a \(\displaystyle 1 \) per \(\displaystyle t \rightarrow 0^{+} \).
Essendo \(\displaystyle 1 \) una costante, questo mi basta per dire che \(\displaystyle f(t) = \mathcal{O}(t^2) \) per \(\displaystyle t \rightarrow 0^{+} \)?
Voi che strada avreste fatto per dimostrarlo?
Grazie in anticipo,
ciao

[dissonance]

Si è giusto quello che fai, ma occhio alle semplificazioni disinvolte. Specialmente, quando scrivi $e^x=1+x+x^2/2$ e ne derivi vari conti successivi, ti stai sistematicamente scordando del resto. Io questo cerco di non farlo perché è un ottimo sistema per sbagliare. (E se devi sostenere esami con professori matematici, potresti avere noie).

Per esempio una soluzione che tiene conto dei resti è la seguente:

posto \(g(t)=2t(e^{2t}-1)^{-1}\) possiamo sviluppare l'esponenziale e ottenere che \(g(t)=(1+t+O(t^2))^{-1}\). Con lo sviluppo binomiale
\[
(1+y)^{-1}=1-y+O(y^2), \quad (y\to 0),
\]
otteniamo che
\[
g(t)=1-(t+O(t^2)) + O((t+O(t^2))^2).\]
Sviluppando il binomio otteniamo \((t+O(t^2))^2=t^2+O(t^3)\), quindi
\[
O((t+O(t^2)^2)=O(t^2), \]
e perciò \( g(t)=1-t+O(t^2).\)