Esercizio su numeri complessi

[_Tyrant_]

Salve a tutti, avrei una domanda riguardante un esercizio sui numeri complessi.
Il testo dell'esercizio afferma:
Si considerino i seguenti sottoinsiemi di C
$ A={z \in mathbb(C): 10} $
$ B={z \in mathbb(C): z^2 \in A} $
$ C={z \in mathbb(C): e^(2piz)=1} $
Trovare:
1) inf$ {|z − w| : z \in A, Im(w) = 0}$
2) sup$ {Im(z) : z \in B nn C} $
3) inf$ {Re(z): z \in B} $

Io ho ragionato in questo modo:
Siccome $ zbar(z) = |z|^2 $ ciò significa che $ 1 $ Re(z^2)>0 rightarrow x^2-y^2>0 $ questo significa che $z$ è definito nello spazio formato dall'intersezione di due rette perpendicolari e, unito a quello scritto sopra, si trova la zona di definizione dell'insieme A.

Ora non so bene come procedere, nel senso che non riesco a trovare un modo per utilizzare $Im(w) = 0$ per completare la prima richiesta, che tra l'atro mi sembra quella chiave per poi riuscire a risolvere gli altri due punti del problema.
Qualcuno riuscirebbe magari a darmi l'input per come procedere? Magari è una "cavolata" però proprio non saprei come continuare.

Grazie mille in anticipo per le risposte

[Quinzio]

"_Tyrant_":Magari è una "cavolata" però proprio non saprei come continuare.

Grazie mille in anticipo per le risposte

Boh, si, mi sembra la classica "cavolata".
Con $Im(w) = 0$, $w$ sta sulla retta dei reali, siccome anche $z$ puo' stare sulla retta dei reali (l'asse orizzontale), il modulo della differenza puo' essere zero.
Siccome il modulo e' sempre uguale o maggiore di zero, la risposta direi che e' zero.

[_Tyrant_]

Ah è verissimo, non ci avevo pensato. Effettivamente era abbastanza intuitivo, colpa mia che non ci sono arrivato.

Grazie mille per la risposta

[_Tyrant_]

Se invece fosse stato
inf$ {|z−w|, z∈A, Re(w)=0} $ come mi sarei dovuto comportare?
Dovrei trovare le intersezioni con l'asse y?