Esercizio su monotonia di funzione composta

[tetravalenza]

Ciao, ho trovato questa vecchia discussione

dimostrazione monotonia funzioni composte

Il libro "Calcolo", di Marcellini/Sbordone propone il seguente esercizio

"Siano $f$, $g$ due funzioni crescenti. Dimostrare che la funzione composta $f\circ g$ è crescente. Che cosa accade se $f, g$ sono decrescenti?"

per la prima parte ho risolto come suggeriva Alex, adattando i nomi di funzione al caso $f ° g$, ma per quanto riguarda la seconda richiesta del problema non riesco a concludere che è crescente:

Se $g$ è decrescente, allora $\forall x_1
Posto $y_1=g(x_1)$ e $y_2=g(x_2)$ risulta $y_1\geq y_2$

Se $f$ è decrescente, allora $\forall y_1
A questo punto come faccio a dire che da $y_1
Questo esercizio fa parte di una serie 5 esercizi riguardante la monotonia posta a fine capitolo 10 sulle derivate, ma non è stata presentata la teoria di legame tra monotonia e derivabilità, mentre la monotonia è stata introdotta nel capitolo 1.

[Mephlip]

Ciao! Partendo da $x_1 \leq x_2$ sei giunto a $y_1 \geq y_2$ (occhio che all'inizio hai usato la disuguaglianza stretta $x_1 < x_2$ e poi hai proseguito con disuguaglianze non strette), ora applichi $f$ in quella disuguaglianza e dunque, essendo per ipotesi $f$ decrescente, segue che $y_1 \geq y_2$ implica $f(y_1) \leq f(y_2)$; ossia $f(g(x_1)) \leq f(g(x_2))$.
Essendo partito da $x_1 \leq x_2$ sei giunto a $f(g(x_1)) \leq f(g(x_2))$, ossia la funzione $f\circ g$ come funzione di $x$ è tale che
$$x_1 \leq x_2 \Rightarrow (f \circ g)(x_1) \leq (f \circ g)(x_2)$$
Ossia $f\circ g$ è monotòna crescente.
Non capisco perché qui:

"tetravalenza":
Se $f$ è decrescente, allora $\forall y_1

sei andato avanti con $y_1

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[l'abatefarina]

visto che l'esercizio si trova nel capitolo delle derivate ,usiamole
$Df(g(x))=f'(g(x))g'(x)$
$-$ per $-$ fa $+$ se non erro

p.s. mi sembra strano che ti abbiano dato questo esercizio senza averti spiegato il legame tra monotonia e derivate

[Mephlip]

Anche se si trova nel capitolo delle derivate non puoi derivare, perché il teorema, per come è stato enunciato, non suppone che $f$ e $g$ siano derivabili. Ha inoltre specificato che non è stata presentato il legame tra monotonia e derivata.

[tetravalenza]

"Mephlip":
sei andato avanti con $y_1

In effetti è propriò quello ad avermi confuso.
OK grazie, per la soluzione.

[l'abatefarina]

e allora metterlo nel capitolo delle derivate non ha molto senso
domanda a trabocchetto?
direi di sì , visto che ci sono cascato