Esercizio su massimi e minimi vincolati
Devo trovare massimi e minimi relativi di questa funzione:
$f(x,y)=x^3 + xy^2 -x$ nell'insieme $K={x,y)|x^2+y^2-2x <=1 }$
che sarebbe l'esercizio 3 preso da questo link:
http://digilander.libero.it/claudia.par ... one_10.pdf
Ho già fatto tutto il procedimento dell'Hessiano, e mi resta la parte sui vincoli, cioè trovare massimi e minimi vincolati a K.
Io non capisco questo passaggio della soluzione, dove dobbiamo trovare i punti critici ristretti alla frontiera dell'insieme K:
Com'è possibile che la funzione $f(x,y)=x^3 + xy^2 -x$ calcolata in
$F(1+rcostheta, rsentheta)$
diventi come quello che c'è scritto in quella parte di soluzione?
Io applicando quella trasformazione avrei fatto così:
$f(x,y)=x(x^2+y^2-1)$
da cui passando a quelle coordinate, ponendo $r=sqrt(2)$
ho
$f=(1+sqrt(2)costheta)(2-1)=1+sqrt(2)costheta$
Derivando e uguagliando a 0 mi risulta appunto
$sentheta=0$
da cui segue tutto il resto.
Il problema è che nella soluzione vengono altre soluzioni oltre a questa quindi perchè quello che ho fatto io è sbagliato?
Invece in coordinate cartesiane l'avrei risolto così:
$f(x,y)=x^3+xy^2-x$
Uso la restrizione: $y^2=1+2x-x^2$ (cioè la frontiera dell'insieme K)
e la sostituisco alla funzione:
$f(x)=x^3+x(1+2x-x^2) -x = 2x^2$
Derivando ed uguagliando a 0
$x=0$ dunque trovo che i punti critici sono $A(0,1)$ e $B(0,-1)$ ma è sbagliato perchè prima avevo trovato che erano di sella. Dov'è che ho sbagliato? Grazie mille per l'attenzione
$f(x,y)=x^3 + xy^2 -x$ nell'insieme $K={x,y)|x^2+y^2-2x <=1 }$
che sarebbe l'esercizio 3 preso da questo link:
http://digilander.libero.it/claudia.par ... one_10.pdf
Ho già fatto tutto il procedimento dell'Hessiano, e mi resta la parte sui vincoli, cioè trovare massimi e minimi vincolati a K.
Io non capisco questo passaggio della soluzione, dove dobbiamo trovare i punti critici ristretti alla frontiera dell'insieme K:
Com'è possibile che la funzione $f(x,y)=x^3 + xy^2 -x$ calcolata in
$F(1+rcostheta, rsentheta)$
diventi come quello che c'è scritto in quella parte di soluzione?
Io applicando quella trasformazione avrei fatto così:
$f(x,y)=x(x^2+y^2-1)$
da cui passando a quelle coordinate, ponendo $r=sqrt(2)$
ho
$f=(1+sqrt(2)costheta)(2-1)=1+sqrt(2)costheta$
Derivando e uguagliando a 0 mi risulta appunto
$sentheta=0$
da cui segue tutto il resto.
Il problema è che nella soluzione vengono altre soluzioni oltre a questa quindi perchè quello che ho fatto io è sbagliato?
Invece in coordinate cartesiane l'avrei risolto così:
$f(x,y)=x^3+xy^2-x$
Uso la restrizione: $y^2=1+2x-x^2$ (cioè la frontiera dell'insieme K)
e la sostituisco alla funzione:
$f(x)=x^3+x(1+2x-x^2) -x = 2x^2$
Derivando ed uguagliando a 0
$x=0$ dunque trovo che i punti critici sono $A(0,1)$ e $B(0,-1)$ ma è sbagliato perchè prima avevo trovato che erano di sella. Dov'è che ho sbagliato? Grazie mille per l'attenzione
Risposte
Devi tener presente che è $x=1+sqrt2 cos theta, y=sqrt2 sin theta$ mentre tu hai utilizzato le formule $x= sqrt2 cos theta, y=sqrt2 sin theta$. Almeno così mi pare di aver capito...
Sostituendo nella funzione hai :
Hai $f(x,y)=x(x^2+y^2-1)$ e dunque effettuando la sostituzione :
$f(1+sqrt2 cos theta),sqrt 2sin theta)=(1+sqrt2 cos theta)[(1+ sqrt2 cos theta)^2+2 sin^2theta -1)]=$
$= (1+sqrt 2cos theta)(1+2sqrt2 cos theta +2cos^2 theta+2sin^2 theta-1)=(1+sqrt2 cos theta)(2+2sqrt2 cos theta )=2(1+sqrt2 cos theta)^2=2x^2$
Sostituendo nella funzione hai :
Hai $f(x,y)=x(x^2+y^2-1)$ e dunque effettuando la sostituzione :
$f(1+sqrt2 cos theta),sqrt 2sin theta)=(1+sqrt2 cos theta)[(1+ sqrt2 cos theta)^2+2 sin^2theta -1)]=$
$= (1+sqrt 2cos theta)(1+2sqrt2 cos theta +2cos^2 theta+2sin^2 theta-1)=(1+sqrt2 cos theta)(2+2sqrt2 cos theta )=2(1+sqrt2 cos theta)^2=2x^2$
"ciromario":
Devi tener presente che è $x=1+sqrt2 cos theta, y=sqrt2 sin theta$ mentre tu hai utilizzato le formule $x= sqrt2 cos theta, y=sqrt2 sin theta$. Almeno così mi pare di aver capito...
Ahhh è vero grazie mille.... infatti la prima volta ho usato quella giusta, ma la seconda volta quella sbagliata.
Ed invece il procedimento che ho svolto con le coordinate cartesiane invece sarebbe giusto? E allora perchè è uscito un punto che precedentemente avevamo definito essere di sella?
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