Esercizio su massimi e minimi per funzione di 2 variabili
Salve gente, ho dei problemi sulla determinazione dei massimi assoluti. OK che quando la restrizione è una funzione $varphi$ posso usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, ok che per funzioni semplice si può usare il metodo delle linee di livello, am qui non riesco a venirne a capo...
Data la funzione f(x,y) = $x^2 + 3y^2 - x$
per i punti di massimo e minimo relativo non ci sono particolari problemi calcolando il determinante dell'Hessiano nel punto in cui il gradiente di questa funzione si annulla, ma per quanto riguarda i max e min assoluti nel triangolo di vertici A(1,0), B(0,1), C(0,-1), come posso agire?
Data la funzione f(x,y) = $x^2 + 3y^2 - x$
per i punti di massimo e minimo relativo non ci sono particolari problemi calcolando il determinante dell'Hessiano nel punto in cui il gradiente di questa funzione si annulla, ma per quanto riguarda i max e min assoluti nel triangolo di vertici A(1,0), B(0,1), C(0,-1), come posso agire?
Risposte
ti cerchi la paremtrizzazione dei lati (uno alla volta) e poi diventa una funzione di una variabile..
scusa non so se ho interpretato bene: a te interessano gli estremi sul perimetro del triangolo o nell'insieme da esso delimitato?
scusa non so se ho interpretato bene: a te interessano gli estremi sul perimetro del triangolo o nell'insieme da esso delimitato?
La traccia parla di max e min assoluti NEL triangolo, quindi penso appunto internamente ad esso...scusami ma non sono praticissimo su questi esercizi
se non mi sbaglio dallo studio dei max e min relativi dovresti aver trovato solo un punto di minimo interno al triangolo $(1/2,0)$ in cui la funzione ha valore $-1/4$. questo dovrebbe essere anche il punto di minimo assoluto nel triangolo, però devi continuare a considerare il contorno per trovare altri punti, come ti è già stato suggerito. nel contorno si trovano altri tre punti di minimo relativo (che non sono minimi considerando tutto il dominio) in cui la funzione vale $0$ o $-1/16$. nei vertici la funzione vale $0$ o $3$. dunque si ha che $B$ e $C$ sono punti di massimo assoluto nel triangolo.
d'altronde la funzione è differenziabile ovunque, dunque eventuali punti di max e min all'interno del triangolo e non sul contorno come dovresti trovarli?
d'altronde la funzione è differenziabile ovunque, dunque eventuali punti di max e min all'interno del triangolo e non sul contorno come dovresti trovarli?
Grazie innanzitutto per la risposta. Scusa se vado in confusione, ma questo esame di analisi 2 è uno di quei minestroni dove ci sono sia sitemi lineari, matrici, che equazioni differenziali e massimi e minimi per funzioni in 2 variabili...Sembra facile, ma mi sto rendendo conto che serve molta pratica sugli esercizi, se no si rischia di consegnare in bianco...
Allora, sì, ho trovato solo un punto critico, che ha le coordinate P=(1/2;0) e dal calcolo del determinante della matrice Hessiana risulta essere un punto di minimo. Diciamocelo chiaramente: l'algoritmo per calcolare questi punti di massimo e minimo relativo è alquanto meccanico e presenta solo qualche difficoltà tecnica(sapere derivare parzialmente, sapere calcolare un determinante, che poi qui si tratta semplicemente di matrici 2x2), quindi è una cosa che potrebbe essere fatta anche senza capire ciò che si fà un altro pò...
La visualizzazione mentale invece di queste funzioni già è molto più difficile rispetto a quelle in 1 variabile...
Tornando a noi, finito il 1 step "bovino" sulla ricerca dei max e min relativi, tramite quel metodo standard di ricerca, occorre trovare massimi e minimi vincolati. Io pensavo di poter sempre "puntare" sui moltiplicatori di Lagrange, ma invece a quanto pare questo metodo analitico basato sui sitemi va bene quando il vincolo è descritto da una certa funzione $varphi$. Qui invece questo insieme è descritto tramite delle coordinate in pratica e risulta essere un triangolo.
Come facevi notare tu Ada, quel punto di minimo relativo trovato è interno a questo triangolo, ok.
Io però poi per la ricerca di min e massimi assoluti oltre all'utilizzo dei moltiplicatorei di Lagrange, ho visto degli esempi con le linee di livello, che però in questo caso non mi sembra molto risolutivo, perché quell'y ricavato non dà una funzione rappresentabile immediatamente o no?
Quello che mi chiedo è se c'è una procedura standard per trovare i massimi e minimi assoluti vincolati nell'eventualità che vengano fornite le coordinate del vincolo, come in questo caso...
EDIT:
rileggendo bene quindi l'unico modo dovrebbe essere parametrizzare i lati giusto? Cosa implica che è differenziabile ovunque ada?
Allora, sì, ho trovato solo un punto critico, che ha le coordinate P=(1/2;0) e dal calcolo del determinante della matrice Hessiana risulta essere un punto di minimo. Diciamocelo chiaramente: l'algoritmo per calcolare questi punti di massimo e minimo relativo è alquanto meccanico e presenta solo qualche difficoltà tecnica(sapere derivare parzialmente, sapere calcolare un determinante, che poi qui si tratta semplicemente di matrici 2x2), quindi è una cosa che potrebbe essere fatta anche senza capire ciò che si fà un altro pò...
La visualizzazione mentale invece di queste funzioni già è molto più difficile rispetto a quelle in 1 variabile...
Tornando a noi, finito il 1 step "bovino" sulla ricerca dei max e min relativi, tramite quel metodo standard di ricerca, occorre trovare massimi e minimi vincolati. Io pensavo di poter sempre "puntare" sui moltiplicatori di Lagrange, ma invece a quanto pare questo metodo analitico basato sui sitemi va bene quando il vincolo è descritto da una certa funzione $varphi$. Qui invece questo insieme è descritto tramite delle coordinate in pratica e risulta essere un triangolo.
Come facevi notare tu Ada, quel punto di minimo relativo trovato è interno a questo triangolo, ok.
Io però poi per la ricerca di min e massimi assoluti oltre all'utilizzo dei moltiplicatorei di Lagrange, ho visto degli esempi con le linee di livello, che però in questo caso non mi sembra molto risolutivo, perché quell'y ricavato non dà una funzione rappresentabile immediatamente o no?
Quello che mi chiedo è se c'è una procedura standard per trovare i massimi e minimi assoluti vincolati nell'eventualità che vengano fornite le coordinate del vincolo, come in questo caso...
EDIT:
rileggendo bene quindi l'unico modo dovrebbe essere parametrizzare i lati giusto? Cosa implica che è differenziabile ovunque ada?
allora spero di non dire cavolate...
però in questo caso preciso della funzione e del triangolo...
1.calcoli prima i punti stazionari (senza che sia necessario determinarne la natura , cioè senza necessariamente dire se sono di massimo o minimo relativo);
2. una volta trovato il punto o i punti stazionari vedi se essi appartengono o meno al dominio consiederato (in questo caso al trinagolo): se non appartengono puoi anche "levarli" dalla tua "lista" di probabili punti di massimo e minimo assoluto;
3. dopodichè come hanno detto anche altri utenti nei post precedenti al mio devi considerare lato per lato cioè la frontiera... parametrizzare i lati... ad esempio considera il lato di estremi $(0,-1)$ e $(1,0)$ che avrà equazione : $y=x-1$ ... e "sosituisci" ottenendo una funzione di una variabile $f(x,x-1)=x^2+3(x-1)^2 -x$ calcoli la derivata prima e la poni ugule a zero e trovi cosi un altro punto probabile di massimo o minimo assoluto...
4. considera anche i putni in cui la funzione non è derivabile rispetto a una delle due variabili.. (sempre che essi appartengano al tuo triangolo)
5. considera anche i vertici del triangolo e calcola i valori che la funzione assume in essi....
alla fine di tutto ciò avrai nella tua "lista" una serie di punti e i corrispondenti valori che la funzione assume in essi...
vedi qualeè il piu piccolo e quale il piu grande... e i punti corrispondenti a tali valori sono i punti di minimo o massimo assoluto...
però in questo caso preciso della funzione e del triangolo...
1.calcoli prima i punti stazionari (senza che sia necessario determinarne la natura , cioè senza necessariamente dire se sono di massimo o minimo relativo);
2. una volta trovato il punto o i punti stazionari vedi se essi appartengono o meno al dominio consiederato (in questo caso al trinagolo): se non appartengono puoi anche "levarli" dalla tua "lista" di probabili punti di massimo e minimo assoluto;
3. dopodichè come hanno detto anche altri utenti nei post precedenti al mio devi considerare lato per lato cioè la frontiera... parametrizzare i lati... ad esempio considera il lato di estremi $(0,-1)$ e $(1,0)$ che avrà equazione : $y=x-1$ ... e "sosituisci" ottenendo una funzione di una variabile $f(x,x-1)=x^2+3(x-1)^2 -x$ calcoli la derivata prima e la poni ugule a zero e trovi cosi un altro punto probabile di massimo o minimo assoluto...
4. considera anche i putni in cui la funzione non è derivabile rispetto a una delle due variabili.. (sempre che essi appartengano al tuo triangolo)
5. considera anche i vertici del triangolo e calcola i valori che la funzione assume in essi....
alla fine di tutto ciò avrai nella tua "lista" una serie di punti e i corrispondenti valori che la funzione assume in essi...
vedi qualeè il piu piccolo e quale il piu grande... e i punti corrispondenti a tali valori sono i punti di minimo o massimo assoluto...
Grazie, sembra lineare il procedimento...se incontro qualche problema tecnico nel parametrizzare ti faccio sapere 
prego.
differenziabile è un altro modo per dire derivabile. io lo uso per distinguere la semplice derivabilità riguardanti funzioni ad una sola variabile dalla derivabilità più complessa (direzionale) per funzioni a più variabili.
in parole semplici tu hai un polinomio, cioè una funzione estremamente regolare, non hai problemi a trovarti le derivate parziali di ogni ordine che sono tutte continue.
analogamente al caso di funzioni ad una sola variabile, in quali punti puoi trovare massimi e minimi? in valori estremi del dominio, in punti di non derivabilità oppure in punti interni con derivata nulla. a due variabili, si traduce dicendo che punti di massimo o minimo possono trovarsi: in punti nei quali si annullano contemporaneamente le due derivate prime parziali, in punti di "non differenziabilità" (cioè quando almeno una delle derivate direzionali non esiste: di solito ci si riconduce alle due derivate parziali), o in punti di frontiera. nel tuo caso hai da considerare il punto interno al triangolo che hai trovato con metodo meccanico, e i punti del perimetro del triangolo; però, all'interno dei singoli lati, come detto già da altri, hai punti "interni" in cui si annulla la derivata della funzione trasformata in una sola variabile e gli estremi che sono vertici del triangolo; i calcoli sono particolarmente semplici perché i punti interni ai tre lati sono vertici di "parabole".
puoi vedere anche qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_differenziabile
il problema è stato affrontato anche qui (trovato con google):
https://www.matematicamente.it/forum/dif ... 42952.html
spero sia chiaro. facci sapere. ciao.
differenziabile è un altro modo per dire derivabile. io lo uso per distinguere la semplice derivabilità riguardanti funzioni ad una sola variabile dalla derivabilità più complessa (direzionale) per funzioni a più variabili.
in parole semplici tu hai un polinomio, cioè una funzione estremamente regolare, non hai problemi a trovarti le derivate parziali di ogni ordine che sono tutte continue.
analogamente al caso di funzioni ad una sola variabile, in quali punti puoi trovare massimi e minimi? in valori estremi del dominio, in punti di non derivabilità oppure in punti interni con derivata nulla. a due variabili, si traduce dicendo che punti di massimo o minimo possono trovarsi: in punti nei quali si annullano contemporaneamente le due derivate prime parziali, in punti di "non differenziabilità" (cioè quando almeno una delle derivate direzionali non esiste: di solito ci si riconduce alle due derivate parziali), o in punti di frontiera. nel tuo caso hai da considerare il punto interno al triangolo che hai trovato con metodo meccanico, e i punti del perimetro del triangolo; però, all'interno dei singoli lati, come detto già da altri, hai punti "interni" in cui si annulla la derivata della funzione trasformata in una sola variabile e gli estremi che sono vertici del triangolo; i calcoli sono particolarmente semplici perché i punti interni ai tre lati sono vertici di "parabole".
puoi vedere anche qui:
http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_differenziabile
il problema è stato affrontato anche qui (trovato con google):
https://www.matematicamente.it/forum/dif ... 42952.html
spero sia chiaro. facci sapere. ciao.
puoi benissimo usare i moltiplicatori di lagrange (d'altra parte è pur sempre un problema di estremi vincolati), ma secondo me perdi un po' più tempo.. questione di punti di vista comunque.
la funzione è ovunque due volte differenziabile (anche nel triangolo), e questo ti garantisce che per trovare gli estremi puoi ricorrere al teorema dell'hessiano. se dentro al triangolo non ne trovi, allora devono stare sul bordo (comunque ci sono, perchè sei in un insieme chiuso e limitato e la funzione è continua)
la funzione è ovunque due volte differenziabile (anche nel triangolo), e questo ti garantisce che per trovare gli estremi puoi ricorrere al teorema dell'hessiano. se dentro al triangolo non ne trovi, allora devono stare sul bordo (comunque ci sono, perchè sei in un insieme chiuso e limitato e la funzione è continua)
Dunque se ho capito bene per parametrizzare basta che al posto della y in pratica vado a inserire l'espressione della funzione che in questo caso è il lato del triangolo e quindi rispettivamente (x+1) e (x-1)...Sul sito di Gobbino lui andava a parametrizzare usando una variabile t che variava in un certo intervallo, am misà che in questo caso non è applicabile...
Quindi provo in pratica il lato che è sull'asse y può essere descritto mediante l'equazione x=0, quindi ponendo x=0 mi rimane da stduiare una funzione in una variabile che è f(x,y) = 3y^2.
Quindi in pratica mi studio queste funzioni in una variabile che ne escono fuori e i loro punti di massimo/minimo sono candidati ad esserlo anche per la funzione in 2 variabili...ditemi se ho detto qualche castroneria
Quindi provo in pratica il lato che è sull'asse y può essere descritto mediante l'equazione x=0, quindi ponendo x=0 mi rimane da stduiare una funzione in una variabile che è f(x,y) = 3y^2.
Quindi in pratica mi studio queste funzioni in una variabile che ne escono fuori e i loro punti di massimo/minimo sono candidati ad esserlo anche per la funzione in 2 variabili...ditemi se ho detto qualche castroneria
a parte un segno, sì ($-x+1$).
altri parametri, come anche altri metodi, si possono usare, anche se di solito si cerca di scegliere il metodo più semplice volta per volta.
prova a svolgere i calcoli e confronta i risultati con quanto ti ho scritto in precedenza. ciao.
altri parametri, come anche altri metodi, si possono usare, anche se di solito si cerca di scegliere il metodo più semplice volta per volta.
prova a svolgere i calcoli e confronta i risultati con quanto ti ho scritto in precedenza. ciao.
si è cosi..
Allora, prima cosa: ovviamente queste funzioni che mi ritrovo in due variabili devo sempre studiarle nel dominio del triangolo si? Cioè [0,1] per quanto riguarda l'asse x e [-1,1] per quanto riguarda l'asse y...
Considerando il pezzo con la coordinata x=0, la funzione che ne esce è 3y^2, in pratica la parabola con asse parallelo all'asse x, che se ricordo bene non è proprio una funzione poiché a un valore della x corrispondono due valori di y...
Per gli altri due pezzi invece mi ritrovo la stessa funzione, cioè 4x^2 - 7x + 3...quindi in pratica per calcolarne il punto di minimo mi basta calcolare le coordinate del vertice...mentre , dato che è una parabola, i suoi massimi saranno proprio i punti agli estremi dell'intervallo considerato...
Mi sento che ho detto qualche sciocchezza
spero non sia così...
Considerando il pezzo con la coordinata x=0, la funzione che ne esce è 3y^2, in pratica la parabola con asse parallelo all'asse x, che se ricordo bene non è proprio una funzione poiché a un valore della x corrispondono due valori di y...
Per gli altri due pezzi invece mi ritrovo la stessa funzione, cioè 4x^2 - 7x + 3...quindi in pratica per calcolarne il punto di minimo mi basta calcolare le coordinate del vertice...mentre , dato che è una parabola, i suoi massimi saranno proprio i punti agli estremi dell'intervallo considerato...
Mi sento che ho detto qualche sciocchezza
spero non sia così...
Ragazzi, comunque a parte qualche defezione, penso più o meno di aver capito l'antifona in questi casi in cui il vincolo è dato sottoforma di coordinate ed è una figura facilmente descrivibile mediante funzioni lineari appunto...
Facendo un altro esercizio mi è venuto un altro dubbio però(sbucano come i funghi questi dubbi, ed aumentano esponenzialmente di solito
).
L'esercizio è il seguente:
Data la funzione f(x,y) = $(1-y^2) * e^(-x^2)$, determinare sempre massimi e minimi relativi e assoluti nel vincolo che però questa volta è dato da $x^2 + y^2<=1$
Questa volta tecnicamente è più difficile giungere ai max e min relativi, perché sta funzione a derivarla due volte rispetto a x è un po' impicciosa...se ho fatto bene i calcoli mi trovo come punto del sistema P(0,0) e che risulta essere un max relativo.
Vabbè apparte questo(non che non sia importante, anzi, spesso le lacune escono fuori proprio su queste cose...), quando vado a considerare i max e min assoluti, adesso ho una funzione $varphi$ che è in pratica la circonferenza di raggio 1, ok.
Di certo a noi i punti del piano che interessano, sono quelli del cerchio, compresa però anche la circonferenza perché c'è quell'uguale...
A questo punto se il mio vincolo era la circonferenza, io andavo ad usare i moltiplicatori di Lagrane risolvendo i due sistemi:
1) $nabla varphi = 0 $ e $varphi=0 $
2) $ nabla f= lambda * nabla varphi$ e anche qui c'è sempre $ varphi = 0$
Questo minore uguale passa ai sitema e quindi al posto di sistemi di equazioni ho sistemi di disequazioni?
Facendo un altro esercizio mi è venuto un altro dubbio però(sbucano come i funghi questi dubbi, ed aumentano esponenzialmente di solito
).L'esercizio è il seguente:
Data la funzione f(x,y) = $(1-y^2) * e^(-x^2)$, determinare sempre massimi e minimi relativi e assoluti nel vincolo che però questa volta è dato da $x^2 + y^2<=1$
Questa volta tecnicamente è più difficile giungere ai max e min relativi, perché sta funzione a derivarla due volte rispetto a x è un po' impicciosa...se ho fatto bene i calcoli mi trovo come punto del sistema P(0,0) e che risulta essere un max relativo.
Vabbè apparte questo(non che non sia importante, anzi, spesso le lacune escono fuori proprio su queste cose...), quando vado a considerare i max e min assoluti, adesso ho una funzione $varphi$ che è in pratica la circonferenza di raggio 1, ok.
Di certo a noi i punti del piano che interessano, sono quelli del cerchio, compresa però anche la circonferenza perché c'è quell'uguale...
A questo punto se il mio vincolo era la circonferenza, io andavo ad usare i moltiplicatori di Lagrane risolvendo i due sistemi:
1) $nabla varphi = 0 $ e $varphi=0 $
2) $ nabla f= lambda * nabla varphi$ e anche qui c'è sempre $ varphi = 0$
Questo minore uguale passa ai sitema e quindi al posto di sistemi di equazioni ho sistemi di disequazioni?
Premetto che non ho verificato i tuoi conti : assumiamo che la funzione $f(x,y) $ abbia un max relativo in $(0,0)$ di valore $1 $ .
All'interno del cerchio quindi non ce ne sono altri di punti critici, altrimenti li avresti trovati ( la funzione è derivabile ovunque) .
Dobbiamo allora concentrarci sul bordo ossia sui punti della crf di equazione $x^2+y^2=1 $ ; in tal caso la funzione diventa di una sola variabile $f(x,x)= x^2 e^(-x^2) $ e di questa cerca max e min .
All'interno del cerchio quindi non ce ne sono altri di punti critici, altrimenti li avresti trovati ( la funzione è derivabile ovunque) .
Dobbiamo allora concentrarci sul bordo ossia sui punti della crf di equazione $x^2+y^2=1 $ ; in tal caso la funzione diventa di una sola variabile $f(x,x)= x^2 e^(-x^2) $ e di questa cerca max e min .
Scusa non capisco perché in questo caso diventa in una sola variabile...prima nel caso del triangolo perché andavo a esprimere la y come la retta x+1 per esempio, ma qui perché posso sostituire la y con la x?
Non mi è chiaro quello che dici . Se nel caso del triangolo , lato per lato , esprimevi y in funzione di x , vuol dire che la funzione di cui trovare max e min si riduceva a funzione di una variabile come adesso , diciamo che $f(x,y) $ diventa $f(x,y(x) )$ e ci si riduce a funzione di una variabile.
Fammi un esempio ...
Fammi un esempio ...
OK quindi si sotituisce semplicemente la y con la x...cioè prima mi era chiaro perché comunque ho detto: alla variabile y vado a sostituire l'espressione di quella retta che descrive quel lato...mentre qui con la circonferenza non trovo un nesso...sarà forse una lacuna di base...
Se, nel caso del lato del triangolo tu sostituisci nella $f(x,y) $, [funzione di cui trovare max min ] al posto di $ y $ l'equazione del lato stesso ( ad es. $y=x+1 $ ) non fai altro che operare una restrizione della funzione $f(x,y) $ a quel lato e quuindi ottieni una funzione che diventa a una sola variabile e consideri solo i valori che essa assume sulla retta , che è quello che interessa in quanto vuoi cercare eventuali punti di max e min che la funzione assume SULLA RETTA (di equazione $ y = x+1 $).
Ti sei così ricondotto a un problema di Analisi 1 - ricerca di max e min per una funzione di una variabile.
Nel caso della crf di equazione $ x^2+y^2 = 1 $ in modo del tutto analogo, se nella $ f(x,y) $ al posto di $y^2 $ metti $ 1-x^2 $ vuol dire che consideri la funzione $f(x,y ) $ SOLO sui punti della crf., fai cioè ancora una restrizione della funzione sulla crf.
Ok ? e quindi ti riconduci ancora a un problema di Analisi 1 .
Il fatto è che non sempre ci si può ricondurre a " problemi di Analisi 1 " perchè spesso il vincolo non è esplicitabile rispetto ad una della due variabili. In questo caso sì perchè la $f(x,y) $ contiene solo i termini $x^2, y^2 $ che sono facilemnte esplicitabili nell'equazione del vincolo : $x^2+y^2 = 1 $ da cui $ y^2 = 1-x^2 $ oppure $ x^2 = 1-y^2 $ .
Ti sei così ricondotto a un problema di Analisi 1 - ricerca di max e min per una funzione di una variabile.
Nel caso della crf di equazione $ x^2+y^2 = 1 $ in modo del tutto analogo, se nella $ f(x,y) $ al posto di $y^2 $ metti $ 1-x^2 $ vuol dire che consideri la funzione $f(x,y ) $ SOLO sui punti della crf., fai cioè ancora una restrizione della funzione sulla crf.
Ok ? e quindi ti riconduci ancora a un problema di Analisi 1 .
Il fatto è che non sempre ci si può ricondurre a " problemi di Analisi 1 " perchè spesso il vincolo non è esplicitabile rispetto ad una della due variabili. In questo caso sì perchè la $f(x,y) $ contiene solo i termini $x^2, y^2 $ che sono facilemnte esplicitabili nell'equazione del vincolo : $x^2+y^2 = 1 $ da cui $ y^2 = 1-x^2 $ oppure $ x^2 = 1-y^2 $ .
Capisco...penso mi sia chiaro il fatto...in questi casi posso ricondurmi in una sola variabile...provo a vedre cosa esce...
Grazie.
Grazie.
Mi blocco di fronte a sciocchezze mannaggia...cioè ricavo $y = - sqrt(x^2-1)$ e vado a sostiuirlo di sana pianta al posto della y o posso scriverlo più decentemente?
Comunque ho deciso che da domani passo agli altri argomenti, sono ormai agli sgoccioli e non posso fossilizzarmi solo su questo...
Però ci sono varie altre cose che non mi sono chiare purtroppo e su cui incontro problemi risolutivi....
Per esempio in questo esercizio incontro difficoltà sulle derivate parziali seconde miste...Guardate:
Determinare per la funzione f(x,y) $\ log(4-x^2-y^2)$ punti di max e min relativo e asooluti in Q [-1,1] x [-1,1]
Allora, $\f'_x= (-2x)/(4-x^2-y^2) , f'_y = (-2y)/(4-x^2-y^2) $, e fin qui nessun problema.
Vado a studiare il sitema $\nablaf = 0$, che mi serve per trovare i punti stazionari interni e che corrisponde a:
$\{ ((-2x)/(4-x^2-y^2) = 0),((-2y)/(4-x^2-y^2) = 0) $ e la prima è =0 se e soltanto se x=0, mentre la seconda è =0 se e soltanto se y=0, quindi trovo il punto P=(0,0).
Passo a determinare le derivate seconde:
$\f''_xx=(2y^2-2x^2-8)/(4-x^2-y^2)^2$ che si ottiene semplicemente applicando la regola di derivazione del quoziente, così come per la f''_yy= $(2x^2-2y^2-8)/(4-x^2-y^2)^2$
Vado in crisi sulla derivazione mista: come potete notare si ha un controsenso, cioè derivando la prima parziale rispetto a x, adesso rispetto a y, ottengo un -2y a numeratore, viceversa un -2x...
Cioè io esco pazzo primo o poi appresso sti esercizi, le difficoltà si mischiano e avvicendano un po' alla volta,e riuscire a far andare tutto liscio mi resta proprio difficile...
Comunque ho deciso che da domani passo agli altri argomenti, sono ormai agli sgoccioli e non posso fossilizzarmi solo su questo...
Però ci sono varie altre cose che non mi sono chiare purtroppo e su cui incontro problemi risolutivi....
Per esempio in questo esercizio incontro difficoltà sulle derivate parziali seconde miste...Guardate:
Determinare per la funzione f(x,y) $\ log(4-x^2-y^2)$ punti di max e min relativo e asooluti in Q [-1,1] x [-1,1]
Allora, $\f'_x= (-2x)/(4-x^2-y^2) , f'_y = (-2y)/(4-x^2-y^2) $, e fin qui nessun problema.
Vado a studiare il sitema $\nablaf = 0$, che mi serve per trovare i punti stazionari interni e che corrisponde a:
$\{ ((-2x)/(4-x^2-y^2) = 0),((-2y)/(4-x^2-y^2) = 0) $ e la prima è =0 se e soltanto se x=0, mentre la seconda è =0 se e soltanto se y=0, quindi trovo il punto P=(0,0).
Passo a determinare le derivate seconde:
$\f''_xx=(2y^2-2x^2-8)/(4-x^2-y^2)^2$ che si ottiene semplicemente applicando la regola di derivazione del quoziente, così come per la f''_yy= $(2x^2-2y^2-8)/(4-x^2-y^2)^2$
Vado in crisi sulla derivazione mista: come potete notare si ha un controsenso, cioè derivando la prima parziale rispetto a x, adesso rispetto a y, ottengo un -2y a numeratore, viceversa un -2x...
Cioè io esco pazzo primo o poi appresso sti esercizi, le difficoltà si mischiano e avvicendano un po' alla volta,e riuscire a far andare tutto liscio mi resta proprio difficile...
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