Esercizio su $L^p$
Ciao. Ho provato a risolvere questo esercizio ma ci giro in torno e non riesco a concludere niente. Suggerimenti?
Traccia:
Calcolare $\s\u\p{int_0^1 sqrtx u(x) dx\ \:\ u in L^p([0,1]), int_0^1|u|^p=1}$ per p =1,2,3; per ciascuno di questi tre casi dire se l'estremo è raggiunto.
Io ho provato a maggiorare con la disuguaglianza di Holder e nel caso p=2 con Cauchy-Schwartz ma non poi non mi viene in mente niente.
Grazie.
.
Traccia:
Calcolare $\s\u\p{int_0^1 sqrtx u(x) dx\ \:\ u in L^p([0,1]), int_0^1|u|^p=1}$ per p =1,2,3; per ciascuno di questi tre casi dire se l'estremo è raggiunto.
Io ho provato a maggiorare con la disuguaglianza di Holder e nel caso p=2 con Cauchy-Schwartz ma non poi non mi viene in mente niente.
Grazie.
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Risposte
Beh, Holder ti aiuta a farti un'idea di chi sia quel $"sup"$, di modo che puoi vedere se riesci a realizzarlo.
Però è solo un'idea, nel senso che quel $"sup"$ potrebbe essere strettamente più piccolo di $||\sqrt(x)||_(p')$.
Noto una cosa: visto che il peso $\sqrt(x)$ è positivo, basta che restringi il campo alle funzioni positive q.o.
Mi riservo di leggere con più calma e rispondere meglio.
Però è solo un'idea, nel senso che quel $"sup"$ potrebbe essere strettamente più piccolo di $||\sqrt(x)||_(p')$.
Noto una cosa: visto che il peso $\sqrt(x)$ è positivo, basta che restringi il campo alle funzioni positive q.o.
Mi riservo di leggere con più calma e rispondere meglio.
Nel caso $p=2$ osserva che sei su un Hilbert e il funzionale $T(u)=\int_0^1 \sqrt x u(x)dx$ è lineare e continuo su $L^2(0,1)$. Il Teorema di Riesz conclude l'esercizio.
@Gugo: Anch'io avevo pensato di ridurmi alle funzioni positive q.o. Il mio problema sta proprio nello stabilire se la maggiorazione che viene da Holder è <>.
@Luca: Non riesco a capire la conclusione. Potresti darmi qualche dettaglio in più perfavore? Il teorema che citi per me è una cosa ancora astratta e incomprensibile e non ho idea di come si <>. 
Scusate ma su questa roba mi muovo ancora come un elefante in un negozio di cristalli.
Grazie comunque per le risposte che mi avete già dato.
@Luca: Non riesco a capire la conclusione. Potresti darmi qualche dettaglio in più perfavore? Il teorema che citi per me è una cosa ancora astratta e incomprensibile e non ho idea di come si <
Scusate ma su questa roba mi muovo ancora come un elefante in un negozio di cristalli.
Grazie comunque per le risposte che mi avete già dato.
$T$ è lineare e continuo; per il Teorema di Riesz è un prodotto scalare (informazione inutile visto che è già scritto come prodotto scalare) e la norma di $T$ è la norma $L^2$ dell'elemento che identifica $T$, ovvero $\sqrt x$. La norma di $T$ coincide con il sup che devi calcolare.
Io conosco un teorema, mi auguro sia utile a qualcosa.
Siano $p>1$ e $q$ tali che $1/p+1/q = 1$, se $g\in L^q([0,1])$ allora il funzionale su $L^p([0,1])$ definito da
$\phi(u)= \int_{[0,1]} fg d\mu$ è lineare e continuo, inoltre $||\phi||= ||g||_q$
Nel tuo caso $g(x)= \sqrt{x}\in L_q([0,1])$
Se ho detto sciocchezze correggetemi per favore, sono alle prime armi con gli spazi $L^p$
Siano $p>1$ e $q$ tali che $1/p+1/q = 1$, se $g\in L^q([0,1])$ allora il funzionale su $L^p([0,1])$ definito da
$\phi(u)= \int_{[0,1]} fg d\mu$ è lineare e continuo, inoltre $||\phi||= ||g||_q$
Nel tuo caso $g(x)= \sqrt{x}\in L_q([0,1])$
Se ho detto sciocchezze correggetemi per favore, sono alle prime armi con gli spazi $L^p$
Ok, allora io ho capito quanto segue, correggetemi se sbaglio:
(scrivo $L^p$ per dire $L^p([0,1])$ e q è l'esponente coniugato di p)
Definisco il funzionale $T:L^p to RR$ come
$T(u) = int_0^1sqrtx u(x)dx$.
T è lineare (banale)
T è limitato. Infatti per Holder:
$int_0^1|sqrtx u(x)|dx<= ||sqrtx||_(L^q)||u(x)||_(L^p)$
e $sqrt(x) in L^q$ in tutti e 3 i casi.
Allora T è un elemento del duale di $L^p$ per definizione.
Il sup richiesto è per definizione la norma di T come elemento del duale.
Ora:
Se p=1 so che questa coincide con la norma $L^infty$ ("dell'elemento che rappresenta T") di sqrt(x) cioè 1.
Se p=2 questo teorema di Riesz dice che vale l'analogo con la norma $L^2$ di $sqrt(x)$ cioè 1/2.
Se p=3 non l'ho ancora verificato ma immagino di sì. (e così dice il teorema citato da Mathematico)
Ma allora mi domando: questa uguaglianza tra norme è una proprietà degli spazi di Hilbert o più in generale dei Banach? O è vero in generale solo per gli Hilbert, però per questo funzionale è vero per ogni p?
Sui miei appunti il teorema di Riesz è riferito agli spazi di Hilbert anche perchè il risultato che sto utilizzando fa uso del prodotto scalare che in un Banach (non Hilbert) non avrebbe senso.
Ancora scusate per l'elefantismo.
(scrivo $L^p$ per dire $L^p([0,1])$ e q è l'esponente coniugato di p)
Definisco il funzionale $T:L^p to RR$ come
$T(u) = int_0^1sqrtx u(x)dx$.
T è lineare (banale)
T è limitato. Infatti per Holder:
$int_0^1|sqrtx u(x)|dx<= ||sqrtx||_(L^q)||u(x)||_(L^p)$
e $sqrt(x) in L^q$ in tutti e 3 i casi.
Allora T è un elemento del duale di $L^p$ per definizione.
Il sup richiesto è per definizione la norma di T come elemento del duale.
Ora:
Se p=1 so che questa coincide con la norma $L^infty$ ("dell'elemento che rappresenta T") di sqrt(x) cioè 1.
Se p=2 questo teorema di Riesz dice che vale l'analogo con la norma $L^2$ di $sqrt(x)$ cioè 1/2.
Se p=3 non l'ho ancora verificato ma immagino di sì. (e così dice il teorema citato da Mathematico)
Ma allora mi domando: questa uguaglianza tra norme è una proprietà degli spazi di Hilbert o più in generale dei Banach? O è vero in generale solo per gli Hilbert, però per questo funzionale è vero per ogni p?
Sui miei appunti il teorema di Riesz è riferito agli spazi di Hilbert anche perchè il risultato che sto utilizzando fa uso del prodotto scalare che in un Banach (non Hilbert) non avrebbe senso.
Ancora scusate per l'elefantismo.
Vediamo un po'... Sarò un po' lungo; spero di non annoiare nessuno.
***
Innanzitutto ti vorrei dire un po' di cose "astratte" (ma può darsi tu le sappia già, non so...).
Prendi uno spazio normato reale $(X,||\cdot||)$ e chiama $X^**:=\{ F:X\to RR:\ F " è lin.eare e limitato" \}$ il duale di $X$; se si pone per $F\in X^**$:
$||F||_**:="sup"_(x\in X\setminus \{ 0\}) |Fx|/(||x||) \quad$ (nota che $||F||_**<+oo$ perchè $F$ è limitato!)
si definisce su $X^**$ una norma, detta norma duale di $||\cdot||$, rispetto alla quale $X^**$ è di Banach (sempre, anche se $X$ non lo è rispetto a $||\cdot ||$); inoltre per omogeneità si riesce a provare che:
(*) $\quad ||F||_**="sup"\{ |Fx|, " con " ||x||=1\}\quad$ (questa tienila a mente).
***
Ora passiamo al "concreto".
A quanto ho capito hai già studiato il teorema (di Riesz) di rappresentazione del duale di uno spazio di Hilbert, quindi parto da qui.
Il teorema ti dice che se hai $F in H^**$ allora esiste un unico vettore $phi in H$ tale che $Fx= << x,phi >>$ (si dice che $phi$ rappresenta $F$ risp. al prodotto scalare); inoltre, per Cauchy-Schwarz, puoi facilmente provare che $||F||_**<=||phi||$ epperò essendo $|Fphi|=||phi||^2$ hai addirittura $||F||_**=||phi||$.
In soldoni, il teorema ti assicura che i funzionali lineari limitati su $H$ sono tutti e soli quelli che si esprimono come prodotti scalari degli elementi di $H$ contro un certo vettore di $H$; inoltre hai uguaglianza tra la norme duale del funzionale e la norma in $H$ del suo rappresentante.
Il bello è che esistono tanti altri teoremi di rappresentazione di questo tipo e sono tutti detti di Riesz!*
Quello che ci interessa più da vicino è quello che citava Mathematico, detto teorema di rappresentazione del duale di $L^p$ (altri abbastanza noti sono il teorema di rappresentazione del duale di $C([a,b])$ e quello di rappresentazione del duale di $C_c(X)$**): come quello ricordato in precedenza, questo teorema ti permette di dire esattamente come sono fatti e che norma hanno i funzionali lineari limitati definiti su $L^p$ a patto che $p in [1,+oo[$ (se $p=oo$ il teorema non funziona).
In particolare il teorema di rappresentazione del duale di $L^p$ ti dice che i funzionali lineari limitati su $L^p$ sono tutti e soli quelli che si rappresentano come integrali di funzioni di $L^p$ contro una qualche funzione di $L^q$, ossia si ha:
$F \in (L^p)^** \Leftrightarrow exists ! phi \in L^q: AA u in L^p, Fu=\int u*phi \quad$ (qui $q=p/(p-1)$ è l'esponente coniugato di $p$);
in più, come in precedenza, hai uguaglianza tra la norma duale del funzionale e la $q$-norma del suo rappresentante, cioè $||F||_**=||phi||_q$.
***
Ritorniamo al problema originario.
Nel tuo caso puoi definire il funzionale:
$Fu:=\int_0^1 \sqrt(x) *u(x)" d"x$
il quale è lineare e limitato su ogni $L^p$ con $p in [1,+oo]$ (per Hölder e perchè $\sqrt(x) \in C([0,1]) \subseteq L^q([0,1])$ per ogni $q \in [1,+oo]$); il teorema di Riesz di rappresentazione del duale di $L^p$ ti dice, sostanzialmente, che $||F||_**=||\sqrt(x)||_q$ ovvero che:
(1) $\quad ||\sqrt(x)||_q="sup" \{ |\int_0^1 \sqrt(x)*u(x)" d"x|, " con " ||u||_p=1\}$
per (*).
Ora la classe di numeri a secondo membro di (1) assomiglia molto alla classe di cui tu vuoi determinare il $"sup"$: l'unica differenza è che hai un valore assoluto "di troppo"; quindi se vuoi sfruttare la (1) (ossia il teorema di rappresentazione di Riesz) per risolvere la prima parte dell'esercizio, ti rimane da far vedere solamente che sussiste l'uguaglianza:
$"sup" \{ |\int_0^1 \sqrt(x)*u(x)" d"x|, " con " ||u||_p=1\} ="sup" \{ \int_0^1 \sqrt(x)*u(x)" d"x, " con " ||u||_p=1\}$
il che non mi pare difficile (ricorda quello che ti ho detto circa la positività nel primo post e cerca di fare qualche buon aggiustamento qui e là negli integrali).
Tuttavia procedere così è come sbattere il tappeto con la racchetta di McEnroe***: stai utilizzando uno strumento "prezioso" per fare la stessa cosa che faresti con Hölder (infatti la stima del $"sup"$ è la stessa e non hai informazioni sulla seconda parte dell'esercizio).
Per la seconda parte, io ti consiglierei di procedere così.
Devi far vedere che esiste almeno una $u in L^p$ con $||u||_p=1$ tale che $\int_0^1 \sqrt(x)*u(x)" d"x=||\sqrt(x)||_q$; nota allora che $\sqrt(x)$ è in $L^(q-1)$ per ogni $q>1$
Se prendi $v(x)=\{\sqrt(x)\}^(q-1)$ (da qui in avanti, $q=p/(p-1)$ è il coniugato di $p$) puoi dire che $v in L^p$? E se calcoli $\int_0^1 \sqrt(x)*v(x)" d"x$ cosa esce fuori? Ed il secondo membro della disuguaglianza di Hölder, i.e. $||\sqrt(x)||_q*||v||_p$, quanto vale?
Il problema è che $v$ ha $||v||_p!=1$: ma puoi normalizzarla, o sbaglio? E se prendi $u=1/(||v||_p)v$ che succede?
Fatti questi due conti hai sostanzialmente finito il caso $p>1$.
Per $p=1$ devi ancora vedere che succede, però mi pare che l'uguaglianza non sia mai verificata... Non sò, devo guardare un po' la situazione.
__________
* Sarebbe più corretto dire che Teorema di rappresentazione di Riesz è il nome di una famiglia di teoremi tutti più o meno simili; lo scopo è sempre lo stesso: tu hai uno spazio di funzioni ed il teorema ti dice esattamente come sono fatti i funzionali lineari limitati definiti su tale spazio.
** Cfr. Rudin, Analisi Reale e Complessa, cap. 2 (se non ricordo male).
*** Questa l'ho inventata al momento; spero piaccia agli appassionati di tennis.
***
Innanzitutto ti vorrei dire un po' di cose "astratte" (ma può darsi tu le sappia già, non so...).
Prendi uno spazio normato reale $(X,||\cdot||)$ e chiama $X^**:=\{ F:X\to RR:\ F " è lin.eare e limitato" \}$ il duale di $X$; se si pone per $F\in X^**$:
$||F||_**:="sup"_(x\in X\setminus \{ 0\}) |Fx|/(||x||) \quad$ (nota che $||F||_**<+oo$ perchè $F$ è limitato!)
si definisce su $X^**$ una norma, detta norma duale di $||\cdot||$, rispetto alla quale $X^**$ è di Banach (sempre, anche se $X$ non lo è rispetto a $||\cdot ||$); inoltre per omogeneità si riesce a provare che:
(*) $\quad ||F||_**="sup"\{ |Fx|, " con " ||x||=1\}\quad$ (questa tienila a mente).
***
Ora passiamo al "concreto".
A quanto ho capito hai già studiato il teorema (di Riesz) di rappresentazione del duale di uno spazio di Hilbert, quindi parto da qui.
Il teorema ti dice che se hai $F in H^**$ allora esiste un unico vettore $phi in H$ tale che $Fx= << x,phi >>$ (si dice che $phi$ rappresenta $F$ risp. al prodotto scalare); inoltre, per Cauchy-Schwarz, puoi facilmente provare che $||F||_**<=||phi||$ epperò essendo $|Fphi|=||phi||^2$ hai addirittura $||F||_**=||phi||$.
In soldoni, il teorema ti assicura che i funzionali lineari limitati su $H$ sono tutti e soli quelli che si esprimono come prodotti scalari degli elementi di $H$ contro un certo vettore di $H$; inoltre hai uguaglianza tra la norme duale del funzionale e la norma in $H$ del suo rappresentante.
Il bello è che esistono tanti altri teoremi di rappresentazione di questo tipo e sono tutti detti di Riesz!*
Quello che ci interessa più da vicino è quello che citava Mathematico, detto teorema di rappresentazione del duale di $L^p$ (altri abbastanza noti sono il teorema di rappresentazione del duale di $C([a,b])$ e quello di rappresentazione del duale di $C_c(X)$**): come quello ricordato in precedenza, questo teorema ti permette di dire esattamente come sono fatti e che norma hanno i funzionali lineari limitati definiti su $L^p$ a patto che $p in [1,+oo[$ (se $p=oo$ il teorema non funziona).
In particolare il teorema di rappresentazione del duale di $L^p$ ti dice che i funzionali lineari limitati su $L^p$ sono tutti e soli quelli che si rappresentano come integrali di funzioni di $L^p$ contro una qualche funzione di $L^q$, ossia si ha:
$F \in (L^p)^** \Leftrightarrow exists ! phi \in L^q: AA u in L^p, Fu=\int u*phi \quad$ (qui $q=p/(p-1)$ è l'esponente coniugato di $p$);
in più, come in precedenza, hai uguaglianza tra la norma duale del funzionale e la $q$-norma del suo rappresentante, cioè $||F||_**=||phi||_q$.
***
Ritorniamo al problema originario.
Nel tuo caso puoi definire il funzionale:
$Fu:=\int_0^1 \sqrt(x) *u(x)" d"x$
il quale è lineare e limitato su ogni $L^p$ con $p in [1,+oo]$ (per Hölder e perchè $\sqrt(x) \in C([0,1]) \subseteq L^q([0,1])$ per ogni $q \in [1,+oo]$); il teorema di Riesz di rappresentazione del duale di $L^p$ ti dice, sostanzialmente, che $||F||_**=||\sqrt(x)||_q$ ovvero che:
(1) $\quad ||\sqrt(x)||_q="sup" \{ |\int_0^1 \sqrt(x)*u(x)" d"x|, " con " ||u||_p=1\}$
per (*).
Ora la classe di numeri a secondo membro di (1) assomiglia molto alla classe di cui tu vuoi determinare il $"sup"$: l'unica differenza è che hai un valore assoluto "di troppo"; quindi se vuoi sfruttare la (1) (ossia il teorema di rappresentazione di Riesz) per risolvere la prima parte dell'esercizio, ti rimane da far vedere solamente che sussiste l'uguaglianza:
$"sup" \{ |\int_0^1 \sqrt(x)*u(x)" d"x|, " con " ||u||_p=1\} ="sup" \{ \int_0^1 \sqrt(x)*u(x)" d"x, " con " ||u||_p=1\}$
il che non mi pare difficile (ricorda quello che ti ho detto circa la positività nel primo post e cerca di fare qualche buon aggiustamento qui e là negli integrali).
Tuttavia procedere così è come sbattere il tappeto con la racchetta di McEnroe***: stai utilizzando uno strumento "prezioso" per fare la stessa cosa che faresti con Hölder (infatti la stima del $"sup"$ è la stessa e non hai informazioni sulla seconda parte dell'esercizio).
Per la seconda parte, io ti consiglierei di procedere così.
Devi far vedere che esiste almeno una $u in L^p$ con $||u||_p=1$ tale che $\int_0^1 \sqrt(x)*u(x)" d"x=||\sqrt(x)||_q$; nota allora che $\sqrt(x)$ è in $L^(q-1)$ per ogni $q>1$
Se prendi $v(x)=\{\sqrt(x)\}^(q-1)$ (da qui in avanti, $q=p/(p-1)$ è il coniugato di $p$) puoi dire che $v in L^p$? E se calcoli $\int_0^1 \sqrt(x)*v(x)" d"x$ cosa esce fuori? Ed il secondo membro della disuguaglianza di Hölder, i.e. $||\sqrt(x)||_q*||v||_p$, quanto vale?
Il problema è che $v$ ha $||v||_p!=1$: ma puoi normalizzarla, o sbaglio? E se prendi $u=1/(||v||_p)v$ che succede?
Fatti questi due conti hai sostanzialmente finito il caso $p>1$.
Per $p=1$ devi ancora vedere che succede, però mi pare che l'uguaglianza non sia mai verificata... Non sò, devo guardare un po' la situazione.
__________
* Sarebbe più corretto dire che Teorema di rappresentazione di Riesz è il nome di una famiglia di teoremi tutti più o meno simili; lo scopo è sempre lo stesso: tu hai uno spazio di funzioni ed il teorema ti dice esattamente come sono fatti i funzionali lineari limitati definiti su tale spazio.
** Cfr. Rudin, Analisi Reale e Complessa, cap. 2 (se non ricordo male).
*** Questa l'ho inventata al momento; spero piaccia agli appassionati di tennis.
"Gugo82":
sbattere il tappeto con la racchetta di McEnroe***
__________
*** Questa l'ho inventata al momento; spero piaccia agli appassionati di tennis.
No, la racchetta del mitico McEnroe no!
Sacrilegio! Chiedo scusa per l'intrusione ma è che da grande appassionato di tennis quale sono mi sono sentito chiamato inevitabilmente in causa.
Chissà cosa urlerebbe il buon Jhon se sapesse che vuoi usare la sua racchetta per sbattere un tappeto
Che bello... ora le cose funzionano anche nella mia testa.... almeno credo.
Per i casi p=2,3 a questo punto sembrerebbe risolto, ovvero il sup richiesto é la norma nel funzionale che è a sua volta uguale alla norma q (esp coniugato di p) di $sqrtx$. Prendendo allora $u(x)=(sqrtx)^(q-1)$ e normalizzandolo rispetto alla norma p il sup viene raggiunto.
Per il caso p=1 il sup è sempre quello (la norma infinito di $sqrt(x)$) però non viene raggiunto. Io penso che quanto segue dovrebbe dimostrarlo:
Se esiste una $u in L^1$ di norma unitaria che fa raggiungere il sup, supponendola positiva q.o. per il solito discorso, allora:
$int_0^1u(x)sqrt(x)dx=1=int_0^1u(x)dx$ quindi
$int_0^1u(x)(sqrt(x)-1)dx=0$
cioè $u(x)(sqrtx-1)=0$ q.o.
Questo non è possibile perchè:
u integra a 1 quindi non può essere q.o. nulla. Quindi buttando via i punti in cui u=0 esiste $K sube [0,1]$ di misura strettamente positiva su cui u è strettamente positiva. Ma se $u(x)(sqrtx-1)=0$ q.o. deve valere anche $u(x)(sqrtx-1)=0$ q.o. in K e quindi $u(x)=0$ q.o. in K visto che l'altro fattore si annulla solo in 1. Assurdo.
Può andare?
Grazie a tutti per il vostro aiuto che stavolta è stato più prezioso di altre.
Per i casi p=2,3 a questo punto sembrerebbe risolto, ovvero il sup richiesto é la norma nel funzionale che è a sua volta uguale alla norma q (esp coniugato di p) di $sqrtx$. Prendendo allora $u(x)=(sqrtx)^(q-1)$ e normalizzandolo rispetto alla norma p il sup viene raggiunto.
Per il caso p=1 il sup è sempre quello (la norma infinito di $sqrt(x)$) però non viene raggiunto. Io penso che quanto segue dovrebbe dimostrarlo:
Se esiste una $u in L^1$ di norma unitaria che fa raggiungere il sup, supponendola positiva q.o. per il solito discorso, allora:
$int_0^1u(x)sqrt(x)dx=1=int_0^1u(x)dx$ quindi
$int_0^1u(x)(sqrt(x)-1)dx=0$
cioè $u(x)(sqrtx-1)=0$ q.o.
Questo non è possibile perchè:
u integra a 1 quindi non può essere q.o. nulla. Quindi buttando via i punti in cui u=0 esiste $K sube [0,1]$ di misura strettamente positiva su cui u è strettamente positiva. Ma se $u(x)(sqrtx-1)=0$ q.o. deve valere anche $u(x)(sqrtx-1)=0$ q.o. in K e quindi $u(x)=0$ q.o. in K visto che l'altro fattore si annulla solo in 1. Assurdo.
Può andare?
Grazie a tutti per il vostro aiuto che stavolta è stato più prezioso di altre.
Sì, più facilmente $\sqrt x-1$ non si annulla mai in $(0,1)$...
Comuqnue che il sup non è raggiunto è legato al fatto che $L^1$ non è riflessivo, sebbene il suo duale sia rappresentato ancora da un $L^p$ ($L^\infty$).
Comuqnue che il sup non è raggiunto è legato al fatto che $L^1$ non è riflessivo, sebbene il suo duale sia rappresentato ancora da un $L^p$ ($L^\infty$).
"Luca.Lussardi":
Comunque che il $"sup"$ non è raggiunto è legato al fatto che $L^1$ non è riflessivo, sebbene il suo duale sia rappresentato ancora da un $L^p$ ($L^\infty$).
Eh, verissimo... Questa me l'ero dimenticata.
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