Esercizio su limite e o piccoli

[Gmig]

Salve, sto cercando di risolvere un esercizio in cui mi sono bloccato, se qualcuno potesse spiegarmi come va fatto gliene sarei molto grato eccolo di seguito
per x $rarr$ 1, al variare di a $in$ $RR$ \ {0}

$(log((e+e^x)/2)-1)/(x^a-x^{-2a})$

non so da dove iniziare, l'unica cosa che mi ha portato a qualcosa è:

$log((e(1+e^(x-1)))/2)-1=$
$log((e(1+x+o(x)))/2)-1$

ma con la x che tende a uno il numeratore tende comunque a zero... il risultato che viene dato è $1/(6a)$.
so che praticamente sto chiedendo di svolgerlo completamente, infatti vi ringrazio in anticipo e spero di capire bene il meccanismo per risolvere questo tipo di esercizi...
Ciao

[Seneca1]

Di primo acchito direi che potresti provare con il teorema di De L'Hospital ...

[Gmig]

Ok, grazie proverò, però il libro ancora non ha affrontato il discorso delle derivate, quindi suppongo che voglia farmelo risolvere con l'algebra degli o piccolo dato che sono esercizi di questo capitolo.
Faccio qualche altro tentativo e posto tra un pò dove sono arrivato.
Ciao

[Quinzio]

Se hai fatto gli sviluppi di Taylor dovresti saperlo fare, anche se ci sono dei passaggi un po' temerari.
$\lim_{x \to 1} (log((e+e^x)/(2))-1)/(x^{\alpha}-x^{-2\alpha})$

$\lim_{x \to 1} (log e + log((1+e^{x-1})/(2))-1)/(x^{\alpha}(1-x^{-3\alpha}))$

$\lim_{x \to 1} (log((1+(1+(x-1)+o(x-1)))/(2)))/(x^{\alpha}(1-x^{-\alpha})(1+x^{-\alpha}+x^{-2\alpha}))$

$\lim_{x \to 1} (log(1+(x-1)/2+o(x-1)))/(x^{\alpha}(1-x^{-\alpha})(1+x^{-\alpha}+x^{-2\alpha}))$

$\lim_{x \to 1} ((x-1)/2+o(x-1))/((x^{\alpha}-1)(1+x^{-\alpha}+x^{-2\alpha}))$

$\lim_{x \to 1} ((x-1)/2+o(x-1))/((x^{\alpha}-1)(1+x^{-\alpha}+x^{-2\alpha})) $

$\lim_{x \to 1} (1/2+o(1))/((x^{\alpha-1}+x^{\alpha-2}+...+x^2+x+1)(1+x^{-\alpha}+x^{-2\alpha})) = 1/(6\alpha)$

Se $\alpha \in NN$
Se $\alpha$ non è intero + non saprei, perchè non puoi fare l'ultimo passaggio.

Beh, non è certo una passeggiata. Fatto poi in un compito d'esame.... auguri.

[Gmig]

Allora, sono andato un pò avanti senza usare De L'Hospital ecco dove sono andato a parare.

per il numeratore:
$log((e+e^x)/2)-1 = log(e+e^x)-log2-1 = log(e(1+e^(x-1)))-log2-1 =$
$= loge+log(1+e^(x-1))-log2-1 = log(1+e^(x-1))-log2 =$
$= e^(x-1)(1+o(1))-log2 = 1+(x-1)(1+o(1))-log2$

poi sono passato al denominatore per vedere se qualcosa si poteva semplificare...

$x^a-x^(-2a) = e^(alogx)-e^(-2alogx) = 1+alogx(1+o(1))+2alogx(1+o(1))$

ma sono ancora lontano dal risultato...sempre se i miei calcoli non sono sbagliati almeno è un passo avanti.
Grazie

[Gmig]

"Quinzio":Se hai fatto gli sviluppi di Taylor dovresti saperlo fare, anche se ci sono dei passaggi un po' temerari.
$\lim_{x \to 1} (log((e+e^x)/(2))-1)/(x^{\alpha}-x^{-2\alpha})$

$\lim_{x \to 1} (log e + log((1+e^{x-1})/(2))-1)/(x^{\alpha}(1-x^{-3\alpha}))$

$\lim_{x \to 1} (log((1+(1+(x-1)+o(x-1)))/(2)))/(x^{\alpha}(1-x^{-\alpha})(1+x^{-\alpha}+x^{-2\alpha}))$

$\lim_{x \to 1} (log(1+(x-1)/2+o(x-1)))/(x^{\alpha}(1-x^{-\alpha})(1+x^{-\alpha}+x^{-2\alpha}))$

$\lim_{x \to 1} ((x-1)/2+o(x-1))/((x^{\alpha}-1)(1+x^{-\alpha}+x^{-2\alpha}))$

$\lim_{x \to 1} ((x-1)/2+o(x-1))/((x^{\alpha}-1)(1+x^{-\alpha}+x^{-2\alpha})) $

$\lim_{x \to 1} (1/2+o(x-1))/((x^{\alpha-1}+x^{\alpha-2}+...+x^2+x+1)(1+x^{-\alpha}+x^{-2\alpha})) = -1/(6\alpha)$

Se $\alpha \in NN$
Se $\alpha$ non è intero + non saprei, perchè non puoi fare l'ultimo passaggio.

Beh, non è certo una passeggiata. Fatto poi in un compito d'esame.... auguri.

Grazie quinzio! stavo ancora scrivendo mentre mi rispondevi... ora guardo bene il tuo procedimento

[Seneca1]

$lim_(t->0) (log((e+e^(t+1))/2)-1)/((t+1)^a-(t+1)^{-2a})$

Semplificando un po':

$lim_(t->0) (log((1+e^(t))/2))/((t+1)^a-(t+1)^{-2a})$

Il problema è il denominatore. Puoi risolvere così:

$(t+1)^a-(t+1)^{-2a} = (t+1)^(-2a) [ (t+1)^(a + 2a ) - 1] = (t+1)^(-2a) [ 3 a t + o(t) ] $ (ho usato un limite notevole)

$lim_(t->0) (t+1)^(2a) * (log((1+e^(t))/2))/( 3 a t + o(t) )$


Separatamente puoi cercare di trovare un infinitesimo equivalente a $log((1+e^(t))/2)$ scegliendo $m$ in modo tale che:

$log((1+e^(t))/2)/t^m -> l in RR - {0}$

Usando De L'Hospital:

$lim_(t -> 0) (e^t/(1 + e^t))/t^(m-1)$

Prendendo $m = 1$ hai: $lim_(t -> 0) (e^t/(1 + e^t))/t^(0) = 1/2 = lim_(t -> 0) log((1+e^(t))/2)/t$

In conclusione $log((1+e^(t))/2) sim 1/2 * t$ e il tuo limite diventa:


$lim_(t->0) (t+1)^(2a) * (1/2 t + o(t))/( 3 a t + o(t) ) = 1/(6a)$.

[Seneca1]

Il ragionamento che ho fatto vale $AA a in RR - {0}$...