Esercizio su limite
Buonasera !
scusate il disturbo... in questi giorni non ci sto molto con la testa, quindi ho un po' di difficoltà con alcuni limiti.
Per esempio
$ lim_(x -> +oo ) ln(cos(1/ln(x + 1)))*ln^(2) (1 + 2x) $
abbiate pazienza, ma mi servirebbe un piccolo input.
grazie in anticipo!
scusate il disturbo... in questi giorni non ci sto molto con la testa, quindi ho un po' di difficoltà con alcuni limiti.
Per esempio
$ lim_(x -> +oo ) ln(cos(1/ln(x + 1)))*ln^(2) (1 + 2x) $
abbiate pazienza, ma mi servirebbe un piccolo input.
grazie in anticipo!
Risposte
Dovremmo fare alcuni accorgimenti in quanto ad occhio dovrebbe venire una forma indeterminata,con precisione: $ +oo * 0 $ .
"Mrhaha":
Dovremmo fare alcuni accorgimenti in quanto ad occhio dovrebbe venire una forma indeterminata,con precisione: $ +oo * 0 $ .
mi spiace, ma proprio non riesco a vederli
qualche idea? mi pare che qualcuno avesse detto de l'hopital, e questo mi ha confusa ancora di più.
Io lo farei così:
$ ln(cos(1/ln(x + 1)))*ln^(2) (1 + 2x) ~~ ln(cos(1/ln(x)))*ln^(2) (2x) $ per $x \to +\infty$.
Ma $ln^(2) (2x) = ln(2x) * ln(2x) = [ ln(2) + ln(x) ]^2 ~~ ln^2(x)$ per $x \to +\infty$;
si ha dunque $ln(cos(1/ln(x))) * [ ln(2) + ln(x) ]^2 ~~ ln(cos(1/ln(x))) * ln^2(x)$ per $x \to +\infty$.
E ponendo $z = 1/(ln(x))$ il limite diventa:
$lim_( x \to + \infty ) ln(cos(1/ln(x + 1)))*ln^(2) (1 + 2x) = lim_( z \to 0^+ ) ln(cos(t))/t^2 $
A questo punto puoi applicare facilmente De L'Hospital...
$ ln(cos(1/ln(x + 1)))*ln^(2) (1 + 2x) ~~ ln(cos(1/ln(x)))*ln^(2) (2x) $ per $x \to +\infty$.
Ma $ln^(2) (2x) = ln(2x) * ln(2x) = [ ln(2) + ln(x) ]^2 ~~ ln^2(x)$ per $x \to +\infty$;
si ha dunque $ln(cos(1/ln(x))) * [ ln(2) + ln(x) ]^2 ~~ ln(cos(1/ln(x))) * ln^2(x)$ per $x \to +\infty$.
E ponendo $z = 1/(ln(x))$ il limite diventa:
$lim_( x \to + \infty ) ln(cos(1/ln(x + 1)))*ln^(2) (1 + 2x) = lim_( z \to 0^+ ) ln(cos(t))/t^2 $
A questo punto puoi applicare facilmente De L'Hospital...
Grazie mille Seneca! sei stato gentilissimo! 
Basta usare i limiti notevoli.
Infatti, dato che \(\frac{1}{\ln (1+x)} \to 0\) quando \(x\to +\infty\), si ha:
\[ \ln \cos \frac{1}{\ln (1+x)} = \ln \left[ 1+\left(\cos \frac{1}{\ln (1+x)} -1\right) \right] \approx \cos \frac{1}{\ln (x+1)} -1 \approx - \frac{1}{2}\ \frac{1}{\ln^2 (1+x)}\]
per i due notevoli \( \ln (1+y)\approx y,\ 1-\cos y\approx \frac{1}{2}\ y^2\) quando \( y\to 0\).
A questo punto, il tuo limite è del tutto equivalente a:
\[ \lim_{x\to +\infty} -\frac{1}{2}\ \left( \frac{\ln (1+2x)}{\ln (1+x)}\right)^2\]
ch si risolve facilmente con un po' di algebra.
Infatti, dato che \(\frac{1}{\ln (1+x)} \to 0\) quando \(x\to +\infty\), si ha:
\[ \ln \cos \frac{1}{\ln (1+x)} = \ln \left[ 1+\left(\cos \frac{1}{\ln (1+x)} -1\right) \right] \approx \cos \frac{1}{\ln (x+1)} -1 \approx - \frac{1}{2}\ \frac{1}{\ln^2 (1+x)}\]
per i due notevoli \( \ln (1+y)\approx y,\ 1-\cos y\approx \frac{1}{2}\ y^2\) quando \( y\to 0\).
A questo punto, il tuo limite è del tutto equivalente a:
\[ \lim_{x\to +\infty} -\frac{1}{2}\ \left( \frac{\ln (1+2x)}{\ln (1+x)}\right)^2\]
ch si risolve facilmente con un po' di algebra.
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