Esercizio su limite.
Buonasera,
Calcolare il seguente limite
\(\displaystyle lim_{x\to 0^+}\tfrac{(1+x)^{\tfrac{1}{x}}-e^{cos\sqrt{x}}}{x^2} \).
Procedo nella seguente maniera:
sia \(\displaystyle \sqrt{x}=y \) ora quando \(\displaystyle x\to 0^+ \) \(\displaystyle y\to 0 \)
si ha il seguente limite
\(\displaystyle lim_{y\to 0}\tfrac{(1+y^2)^{\tfrac{1}{y^2}}-e^{cosy}}{y^4} \)
\(\displaystyle lim_{y\to 0}\tfrac{((1+y^2)^{\tfrac{1}{y^2}}-1)-(e^{cosy}-1)}{y^4} \)
\(\displaystyle lim_{y\to 0}\tfrac{1}{y^4}(lim_{y\to 0}((1+y^2)^{\tfrac{1}{y^2}}-1)-lim_{y\to 0}cosy\tfrac{(e^{cosy}-1)}{cosy}) \)
\(\displaystyle (1+y^2)^{\tfrac{1}{y^2}}\sim e \)
\(\displaystyle lim_{y\to 0}\tfrac{1}{y^2}(e-1-1) \)
\(\displaystyle lim_{y\to 0}\tfrac{1}{0}(e-2)=\infty(e-2)=\infty \).
sono corretti i passaggi, oppure ho fatto un disastro?
Cordiali saluti.
Calcolare il seguente limite
\(\displaystyle lim_{x\to 0^+}\tfrac{(1+x)^{\tfrac{1}{x}}-e^{cos\sqrt{x}}}{x^2} \).
Procedo nella seguente maniera:
sia \(\displaystyle \sqrt{x}=y \) ora quando \(\displaystyle x\to 0^+ \) \(\displaystyle y\to 0 \)
si ha il seguente limite
\(\displaystyle lim_{y\to 0}\tfrac{(1+y^2)^{\tfrac{1}{y^2}}-e^{cosy}}{y^4} \)
\(\displaystyle lim_{y\to 0}\tfrac{((1+y^2)^{\tfrac{1}{y^2}}-1)-(e^{cosy}-1)}{y^4} \)
\(\displaystyle lim_{y\to 0}\tfrac{1}{y^4}(lim_{y\to 0}((1+y^2)^{\tfrac{1}{y^2}}-1)-lim_{y\to 0}cosy\tfrac{(e^{cosy}-1)}{cosy}) \)
\(\displaystyle (1+y^2)^{\tfrac{1}{y^2}}\sim e \)
\(\displaystyle lim_{y\to 0}\tfrac{1}{y^2}(e-1-1) \)
\(\displaystyle lim_{y\to 0}\tfrac{1}{0}(e-2)=\infty(e-2)=\infty \).
sono corretti i passaggi, oppure ho fatto un disastro?
Cordiali saluti.
Risposte
Ciao, no i tuoi passaggi sono sbagliati. Ma prima di dirti dove, per poterti suggerire una possibile soluzione bisogna sapere cosa studi/ se puoi usare gli sviluppi di Taylor.
Hey Bremen000,
agli sviluppi ancora non ci sono arrivato, cmq penso di aver capito dove sta l'errore, sulla posizione che ho fatto.
agli sviluppi ancora non ci sono arrivato, cmq penso di aver capito dove sta l'errore, sulla posizione che ho fatto.
No l'errore sta in
$\lim_{y \to 0} \frac{e^[\cos(y)}-1}{\cos(y)} = 1$
che è ovviamente falso.
Senza Taylor magari si può anche fare ma in questo momento non mi viene in mente un modo furbo.
$\lim_{y \to 0} \frac{e^[\cos(y)}-1}{\cos(y)} = 1$
che è ovviamente falso.
Senza Taylor magari si può anche fare ma in questo momento non mi viene in mente un modo furbo.
Non credo ci siano altri modi al di fuori degli sviluppi in serie.
Ciao galles90,
La seconda che hai detto... (cit. da Quelo - Corrado Guzzanti: https://www.youtube.com/watch?v=jYQWVnKEFRk)
Sono d'accordo con francicko, ma userei comunque i limiti notevoli per semplificare un po' le cose:
$ lim_{x \to 0^+} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e^{cos\sqrt{x}}}{x^2} = lim_{x \to 0^+} \frac{e^{\frac{ln(1 + x)}{x}} - e - (e^{cos\sqrt{x}} - e)}{x^2} = $
$ = e \cdot lim_{x \to 0^+} \frac{e^{\frac{ln(1 + x)}{x} - 1} - 1 - (e^{cos\sqrt{x} - 1} - 1)}{x^2} = $
$ = e \cdot lim_{x \to 0^+} frac{e^{\frac{ln(1 + x)}{x} - 1} - 1}{\frac{ln(1 + x)}{x} - 1} \cdot \frac{frac{ln(1 + x)}{x} - 1}{x^2} - frac{e^{cos\sqrt{x} - 1} - 1}{cos\sqrt{x} - 1} \cdot frac{cos\sqrt{x} - 1}{x^2} = $
$ = e \cdot lim_{x \to 0^+} {[- frac{1}{2x} + 1/3 - x/4 + o(x^2)] - [- frac{1}{2x} + 1/24 - x/720 + o(x^2)]} = $
$ = e \cdot {1/3 - 1/24} = frac{7e}{24} $
"galles90":
sono corretti i passaggi, oppure ho fatto un disastro?
La seconda che hai detto... (cit. da Quelo - Corrado Guzzanti: https://www.youtube.com/watch?v=jYQWVnKEFRk)
Sono d'accordo con francicko, ma userei comunque i limiti notevoli per semplificare un po' le cose:
$ lim_{x \to 0^+} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e^{cos\sqrt{x}}}{x^2} = lim_{x \to 0^+} \frac{e^{\frac{ln(1 + x)}{x}} - e - (e^{cos\sqrt{x}} - e)}{x^2} = $
$ = e \cdot lim_{x \to 0^+} \frac{e^{\frac{ln(1 + x)}{x} - 1} - 1 - (e^{cos\sqrt{x} - 1} - 1)}{x^2} = $
$ = e \cdot lim_{x \to 0^+} frac{e^{\frac{ln(1 + x)}{x} - 1} - 1}{\frac{ln(1 + x)}{x} - 1} \cdot \frac{frac{ln(1 + x)}{x} - 1}{x^2} - frac{e^{cos\sqrt{x} - 1} - 1}{cos\sqrt{x} - 1} \cdot frac{cos\sqrt{x} - 1}{x^2} = $
$ = e \cdot lim_{x \to 0^+} {[- frac{1}{2x} + 1/3 - x/4 + o(x^2)] - [- frac{1}{2x} + 1/24 - x/720 + o(x^2)]} = $
$ = e \cdot {1/3 - 1/24} = frac{7e}{24} $
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